**בפרט, אם אין שורת סתירה ואין משתנים חופשיים אז יש '''פתרון יחיד'''.
**בפרט, אם אין שורת סתירה, יש משתנים חופשיים ויש אינסוף מספרים בשדה אז יש '''אינסוף פתרונות'''.
===תרגיל===
מצא לאילו ערכים של הפרמטרים a יש למערכת פתרון יחיד, אין פתרון, או אינסוף פתרונות. במקרה של אינסוף פתרונות מצא את הפתרון הכללי.
<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
a & a^2 & 1 & 2+a \\
a & 3a & 1 & 5\end{array}\right)
</math>
== פתרון ===
<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
a & a^2 & 1 & 2+a \\
a & 3a & 1 & 5\end{array}\right)
\xrightarrow[R_3 -aR_1 \to R_3]{ R_2 -aR_1 \to R_2}
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1-a & 2 \\
0 & a(3-a) & 1-a & 5-a \end{array}\right)
\xrightarrow[]{ R_2 \leftrightarrow R_3}
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & a & 1 & 1 \\
0 & a(3-a) & 1-a & 5-a\\
0 & 0 & 1-a & 2
\end{array}\right)
</math>
ולכן:
*עבור <math>a\neq 0,1,3</math> נקבל 3 צירים ולכן לא יהיו משתנים חופשיים. בנוסף לא תהיה שורת סתירה ולכן יהיה פתרון יחיד.
* עבור <math>a=1</math> נקבל שורת סתירה בשורה השלישית
* עבור <math>a=0</math> נקבל את המטריצה
<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 5\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right)
</math>
וגם פה יש סתירה כי מהשורה השניה נסיק <math>z=5</math> ואילו מהשורה השלישית נסיק <math>z=2</math> (אם היינו מדרגים את המטריצה היינו מקבלים שורת סתירה "קלאסית")
* עבור <math>a=3</math> נקבל את המטריצה
<math>
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 2\\
0 & 0 & -2 & 2
\end{array}\right)
\xrightarrow[]{ R_3-R_2 \to R_3}
\left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
</math>
וגם שיש אין סוף פתרונות.
נסמן את המשתנה החופשי <math>y=t</math> ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. <math>z=-1, x= 1-z-3y=2-3t</math> ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה
<math>\{\left( \begin{array}{c}
2-3t \\
t\\
-1
\end{array}\right)
: \, t\in \mathbb{R} \}
</math>
===תרגיל===