88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4: הבדלים בין גרסאות בדף
שורה 69: | שורה 69: | ||
הערה: <math>V=\mathbb{R}^{3}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math> (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי <math>i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3</math> והכפל בניהם צריך להיות שייך ל <math>V</math> אבל <math>i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3</math> | הערה: <math>V=\mathbb{R}^{3}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math> (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי <math>i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3</math> והכפל בניהם צריך להיות שייך ל <math>V</math> אבל <math>i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3</math> | ||
==תתי מרחבים == | |||
הגדרה יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. תת קבוצה <math>W\subseteq V</math> | |||
יקרא '''תת מרחב''' אם הוא מרחב וקטורי בפני עצמו ביחס לפעולות '''V'''. סימון <math>W\leq V</math> | |||
הערה: כדי לבדוק אם '''W\subseteq V''' הוא תת מרחב מספיק לבדוק | |||
#לכל <math>w,u\in W</math> מתקיים | |||
#מוגדרות: <math>u+w\in W</math> . | |||
#איבר נטרלי: 0 של <math>V</math> נמצא ב-<math>W</math> | |||
#אקסיומות כפל בסקלאר: לכל <math>w\in W,\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים | |||
##מוגדרות <math>\alpha w\in W</math> | |||
את שאר האקסיומות <math>W</math> יורש מ <math>V</math> כתת קבוצה. | |||
הערה: ניתן לרכז את הבדיקות הנ"ל מספיק לבדוק | |||
#<math>W\not=\emptyset</math> | |||
#שלכל <math>w,u\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים <math>\alpha u+w\in W</math>. | |||
אבחנה: <math>\{0\},V\subseteq V</math> תמיד תתי מרחבים ונקראים <math>תתי המרחבים הטריוואלים</math>. |
גרסה מ־12:25, 9 ביולי 2015
מרחבים וקטורים
דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ[math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\} }[/math]
עם חיבור [math]\displaystyle{ (x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2}) }[/math]
וכפל בסקלאר [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z) }[/math] הוא מרחב וקטורי.
ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.
הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה [math]\displaystyle{ (V,\mathbb{F},+,\cdot) }[/math], כאשר
- [math]\displaystyle{ V }[/math] היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר [math]\displaystyle{ +:V\times V \to V }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של [math]\displaystyle{ V }[/math] וכפל בסקלאר.
- כפל בסקלאר ([math]\displaystyle{ \cdot }[/math]) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. פורמאלית [math]\displaystyle{ \cdot : \mathbb{F}\times V \to V }[/math]
אקסיומות מרחב וקטורי:
- אקסיומות של החיבור ב [math]\displaystyle{ V }[/math]: לכל [math]\displaystyle{ v,w,u\in V }[/math] מתקיים
- מוגדרות: [math]\displaystyle{ v+w\in V }[/math] .
- קיבוץ: [math]\displaystyle{ v+(u+w)=(v+u)+w }[/math] .
- חילוף: [math]\displaystyle{ v+u=u+v }[/math] .
- איבר נטרלי: [math]\displaystyle{ \exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v }[/math] .
- איבר נגדי: [math]\displaystyle{ \forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0 }[/math] .
- אקסיומות של כפל וחיבור של שדה: בהגדרת שדה
- אקסיומות כפל בסקלאר: לכל [math]\displaystyle{ v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים
- מוגדרות [math]\displaystyle{ \alpha v\in V }[/math]
- קיבוץ: [math]\displaystyle{ \alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v }[/math]
- כפל ביחידה (של השדה): [math]\displaystyle{ 1_{\mathbb{F}}\cdot v=v }[/math]
- פילוג:
- [math]\displaystyle{ \alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u }[/math]
- [math]\displaystyle{ (\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v }[/math]
טרמינולוגיה: אומרים ש [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math].
איברי [math]\displaystyle{ V }[/math] נקראים וקטורים. איברי [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] נקראים סקלארים.
תכונות בסיסיות:
.1 [math]\displaystyle{ (-1_{F})v=(-v) }[/math]
.2 [math]\displaystyle{ 0_{F}v=0_{V} }[/math]
דוגמאות
1. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})|\, a_{i}\in\mathbb{F}\} }[/math] מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]
עם חיבור [math]\displaystyle{ (a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n}) }[/math]
וכפל בסקלאר [math]\displaystyle{ \alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n}) }[/math]
2. מרחב המטריצות [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^{m\times n} }[/math] מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.
3. מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית [math]\displaystyle{ \mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\} }[/math] מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]
עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.
4. מרחב הפולינומים [math]\displaystyle{ \mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\} }[/math] עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.
5. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R} }[/math] הוא מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{Q} }[/math] עם חיבור וכפל "רגילים".
6. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{C}^{3} }[/math] הוא מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math].
הערה: [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^{3} }[/math] הוא אינו מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math] (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי [math]\displaystyle{ i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3 }[/math] והכפל בניהם צריך להיות שייך ל [math]\displaystyle{ V }[/math] אבל [math]\displaystyle{ i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3 }[/math]
תתי מרחבים
הגדרה יהיה [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. תת קבוצה [math]\displaystyle{ W\subseteq V }[/math] יקרא תת מרחב אם הוא מרחב וקטורי בפני עצמו ביחס לפעולות V. סימון [math]\displaystyle{ W\leq V }[/math]
הערה: כדי לבדוק אם W\subseteq V הוא תת מרחב מספיק לבדוק
- לכל [math]\displaystyle{ w,u\in W }[/math] מתקיים
- מוגדרות: [math]\displaystyle{ u+w\in W }[/math] .
- איבר נטרלי: 0 של [math]\displaystyle{ V }[/math] נמצא ב-[math]\displaystyle{ W }[/math]
- אקסיומות כפל בסקלאר: לכל [math]\displaystyle{ w\in W,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים
- מוגדרות [math]\displaystyle{ \alpha w\in W }[/math]
את שאר האקסיומות [math]\displaystyle{ W }[/math] יורש מ [math]\displaystyle{ V }[/math] כתת קבוצה.
הערה: ניתן לרכז את הבדיקות הנ"ל מספיק לבדוק
- [math]\displaystyle{ W\not=\emptyset }[/math]
- שלכל [math]\displaystyle{ w,u\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \alpha u+w\in W }[/math].
אבחנה: [math]\displaystyle{ \{0\},V\subseteq V }[/math] תמיד תתי מרחבים ונקראים [math]\displaystyle{ תתי המרחבים הטריוואלים }[/math].