88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4: הבדלים בין גרסאות בדף
שורה 98: | שורה 98: | ||
<math>-1(1,1)=(-1,-1)\not\notin W</math> | <math>-1(1,1)=(-1,-1)\not\notin W</math> | ||
ב. <math>W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\ | ב. <math>W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\text{or}x,y\leq0\}</math> | ||
(הרביע החיובי והשלילי) אינו תת מרחב כי <math>\underset{\in W}{(2,4)}+\underset{\in W}{(-3,-3)}=(-1,1)\notin W</math> | |||
ג. <math>W=\{(x,y)|\, y=3x\}</math> קו ישר העובר בראשית הוא כן תת מרחב. נוכיח את זה בסעיף הבא: | ג. <math>W=\{(x,y)|\, y=3x\}</math> קו ישר העובר בראשית הוא כן תת מרחב. נוכיח את זה בסעיף הבא: | ||
שורה 118: | שורה 119: | ||
\vdots & & \ddots & 0\\ | \vdots & & \ddots & 0\\ | ||
0 & 0 & \cdots & 0 | 0 & 0 & \cdots & 0 | ||
\end{array}\right)|a\in\mathbb{F}\}</math> | \end{array}\right)|a\in\mathbb{F}\}</math> הן תת מרחב. | ||
הן תת מרחב. | |||
נוכיח : | נוכיח : |
גרסה מ־12:41, 9 ביולי 2015
מרחבים וקטורים
דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ[math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\} }[/math]
עם חיבור [math]\displaystyle{ (x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2}) }[/math]
וכפל בסקלאר [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z) }[/math] הוא מרחב וקטורי.
ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.
הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה [math]\displaystyle{ (V,\mathbb{F},+,\cdot) }[/math], כאשר
- [math]\displaystyle{ V }[/math] היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר [math]\displaystyle{ +:V\times V \to V }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של [math]\displaystyle{ V }[/math] וכפל בסקלאר.
- כפל בסקלאר ([math]\displaystyle{ \cdot }[/math]) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. פורמאלית [math]\displaystyle{ \cdot : \mathbb{F}\times V \to V }[/math]
אקסיומות מרחב וקטורי:
- אקסיומות של החיבור ב [math]\displaystyle{ V }[/math]: לכל [math]\displaystyle{ v,w,u\in V }[/math] מתקיים
- מוגדרות: [math]\displaystyle{ v+w\in V }[/math] .
- קיבוץ: [math]\displaystyle{ v+(u+w)=(v+u)+w }[/math] .
- חילוף: [math]\displaystyle{ v+u=u+v }[/math] .
- איבר נטרלי: [math]\displaystyle{ \exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v }[/math] .
- איבר נגדי: [math]\displaystyle{ \forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0 }[/math] .
- אקסיומות של כפל וחיבור של שדה: בהגדרת שדה
- אקסיומות כפל בסקלאר: לכל [math]\displaystyle{ v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים
- מוגדרות [math]\displaystyle{ \alpha v\in V }[/math]
- קיבוץ: [math]\displaystyle{ \alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v }[/math]
- כפל ביחידה (של השדה): [math]\displaystyle{ 1_{\mathbb{F}}\cdot v=v }[/math]
- פילוג:
- [math]\displaystyle{ \alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u }[/math]
- [math]\displaystyle{ (\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v }[/math]
טרמינולוגיה: אומרים ש [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math].
איברי [math]\displaystyle{ V }[/math] נקראים וקטורים. איברי [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] נקראים סקלארים.
תכונות בסיסיות:
.1 [math]\displaystyle{ (-1_{F})v=(-v) }[/math]
.2 [math]\displaystyle{ 0_{F}v=0_{V} }[/math]
דוגמאות
1. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})|\, a_{i}\in\mathbb{F}\} }[/math] מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]
עם חיבור [math]\displaystyle{ (a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n}) }[/math]
וכפל בסקלאר [math]\displaystyle{ \alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n}) }[/math]
2. מרחב המטריצות [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^{m\times n} }[/math] מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.
3. מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית [math]\displaystyle{ \mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\} }[/math] מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]
עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.
4. מרחב הפולינומים [math]\displaystyle{ \mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\} }[/math] עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.
5. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R} }[/math] הוא מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{Q} }[/math] עם חיבור וכפל "רגילים".
6. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{C}^{3} }[/math] הוא מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math].
הערה: [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^{3} }[/math] הוא אינו מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math] (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי [math]\displaystyle{ i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3 }[/math] והכפל בניהם צריך להיות שייך ל [math]\displaystyle{ V }[/math] אבל [math]\displaystyle{ i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3 }[/math]
תתי מרחבים
הגדרה יהיה [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. תת קבוצה [math]\displaystyle{ W\subseteq V }[/math] יקרא תת מרחב אם הוא מרחב וקטורי בפני עצמו ביחס לפעולות V. סימון [math]\displaystyle{ W\leq V }[/math]
הערה: כדי לבדוק אם W\subseteq V הוא תת מרחב מספיק לבדוק
- לכל [math]\displaystyle{ w,u\in W }[/math] מתקיים
- מוגדרות: [math]\displaystyle{ u+w\in W }[/math] .
- איבר נטרלי: 0 של [math]\displaystyle{ V }[/math] נמצא ב-[math]\displaystyle{ W }[/math]
- אקסיומות כפל בסקלאר: לכל [math]\displaystyle{ w\in W,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים
- מוגדרות [math]\displaystyle{ \alpha w\in W }[/math]
את שאר האקסיומות [math]\displaystyle{ W }[/math] יורש מ [math]\displaystyle{ V }[/math] כתת קבוצה.
הערה: ניתן לרכז את הבדיקות הנ"ל מספיק לבדוק
- [math]\displaystyle{ W\not=\emptyset }[/math]
- שלכל [math]\displaystyle{ w,u\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \alpha u+w\in W }[/math].
אבחנה: [math]\displaystyle{ \{0\},V\subseteq V }[/math] תמיד תתי מרחבים ונקראים תתי המרחבים הטריוואלים.
דוגמאות ודוגמאות נגדיות
1. המישור האוקלידי [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^{2} }[/math] מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math]
א. [math]\displaystyle{ W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq 0\} }[/math] (הרביע החיובי) אינו תת מרחב כי [math]\displaystyle{ -1(1,1)=(-1,-1)\not\notin W }[/math]
ב. [math]\displaystyle{ W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\text{or}x,y\leq0\} }[/math] (הרביע החיובי והשלילי) אינו תת מרחב כי [math]\displaystyle{ \underset{\in W}{(2,4)}+\underset{\in W}{(-3,-3)}=(-1,1)\notin W }[/math]
ג. [math]\displaystyle{ W=\{(x,y)|\, y=3x\} }[/math] קו ישר העובר בראשית הוא כן תת מרחב. נוכיח את זה בסעיף הבא:
2. תהא [math]\displaystyle{ A\in \mathbb{F}^{m\times n} }[/math] מטריצה ונסתכל על אוסף הפתרונות למערכת ההומוגנית [math]\displaystyle{ Ax=0 }[/math]. פורמאלית [math]\displaystyle{ W=\{v\in \mathbb{F}^n \, :\, Av=0\} \subseteq \mathbb{F}^n }[/math].
טענה [math]\displaystyle{ W\leq \mathbb{F}^n }[/math] תת מרחב
הוכחה: נשתמש בקריטריון המקוצר
- ברור ש [math]\displaystyle{ W }[/math] לא ריקה כי [math]\displaystyle{ 0\in W }[/math]
- לכל [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] רוצים להראות כי [math]\displaystyle{ \alpha v_1 +v_2 \in W }[/math]. לפי הגדרה צריך להראות כי [math]\displaystyle{ A(\alpha v_1 +v_2)=0 }[/math]. ואכן, [math]\displaystyle{ A(\alpha v_1 +v_2)=\alpha Av_1+Av_2=\alpha 0+0 =0+0=0 }[/math].
3. מרחב המטריצות [math]\displaystyle{ V=\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] א. המטריצות מסוג
[math]\displaystyle{ W=\{\left(\begin{array}{cccc}
a & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & & 0\\
\vdots & & \ddots & 0\\
0 & 0 & \cdots & 0
\end{array}\right)|a\in\mathbb{F}\} }[/math] הן תת מרחב.
נוכיח :
- ברור כי [math]\displaystyle{ W }[/math] אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל [math]\displaystyle{ W }[/math]
(b) המטריצות הסימטריות W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A\} ֱ הן תת מרחב )בתרגיל(.
(c) המטריצות הסימטריות איחוד עם המטריצות האנטי סימטריות W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A\textnormal{\,\ or\,}A^{t}=-A\} אינו תת מרחב כי \left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right)\in W אבל \left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\notin W .
.3 V=\mathbb{R}_{2}[x] מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל \mathbb{R} .
(a) W=\mathbb{R}_{1}[x]=\{a+bx|\, a,b\in\mathbb{R}\} הינו תת מרחב כי באופן כללי \mathbb{R}_{n}[x] הוא מרחב וקטורי.
(b) W=\{a+bx|\,0\not=b\in\mathbb{R}\} הפולינומים מדרגה 1 בדיוק אינו תת מרחב. כי פולינום האפס שהוא האיבר הנטרלי ב V לא נמצא ב W 0\notin W .
.4 V=\mathbb{R} הוא מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{Q} .
(a) W=\mathbb{Q} הוא תת מרחב כי לכל v,w\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} מתקיים \alpha v+w\in W .
.5 V=\mathbb{R} הוא מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{R} .
(a) W=\mathbb{Q} הוא אינו תת מרחב כי 1\in W,\,\sqrt{2}\in\mathbb{F} אבל 1\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2}\notin W