אינטגרציה בחלקים: הבדלים בין גרסאות בדף
אין תקציר עריכה |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
[[קטגוריה:אינפי]] | [[קטגוריה:אינפי]] | ||
==הגדרה== | ==הגדרה== | ||
'''אינטגרציה בחלקים''' הוא כינוי | '''אינטגרציה בחלקים''' הוא כינוי לנוסחת האינטגרציה הבאה: | ||
:<math>\int{f'\cdot g}=f\cdot g-\int{f\cdot g'}</math> | |||
הנוסחא נובעת מיידית | הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל: | ||
:<math>(f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f</math> | |||
==דוגמאות== | ==דוגמאות== | ||
א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על ידי גזירתו. | א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד. | ||
<math>\int{ | <math>\int{x\cdot\cos(x)}=?</math> | ||
נסמן <math>f'=cos(x),g=x</math> | נסמן <math>f'=\cos(x)\ ,\ g=x</math> | ||
ולכן <math>f=sin(x),g'=1</math> | ולכן <math>f=\sin(x)\ ,\ g'=1</math> | ||
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים | |||
:<math>\int{x\cdot\cos(x)}=x\cdot\sin(x)-\int{\sin(x)}=x\cdot\sin(x)+\cos(x)+C</math> . | |||
ב. בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם עדיין ניתן להעזר באינטגרציה בחלקים לפתרון הבעיה. | |||
<math>\int{e^x\cdot\cos(x)}=?</math> | |||
נסמן <math>I=\int{e^x\cdot\cos(x)}</math> | |||
נסמן | |||
לכן | לכן | ||
:<math>I=e^x\cdot\cos(x)+\int{e^x\cdot\sin(x)}=e^x\cdot\cos(x)+e^x\cdot\sin(x)-\int{e^x\cdot\cos(x)}=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)-I</math> | |||
ולכן | ולכן | ||
:<math>2I=e^x\big(sin(x)+\cos(x)\big)</math> | |||
ומכאן יוצא | ומכאן יוצא | ||
:<math>\int{e^x\cdot\cos(x)}=I=\frac{e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)}{2}+C</math> . | |||
ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע <math>1</math> כנגזרת של הפונקציה <math>x</math> ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים. | |||
ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע 1 כנגזרת של הפונקציה x ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון | |||
<math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}=?</math> | <math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}=?</math> | ||
נסמן <math>f'=1,g=\sqrt{a^2-x^2}</math> | נסמן <math>f'=1\ ,\ g=\sqrt{a^2-x^2}</math> | ||
ולכן <math>f=x,g'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}</math> | ולכן <math>f=x\ ,\ g'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}</math> | ||
נפעיל | נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים: | ||
:<math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math> | |||
:<math>=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math> | |||
:<math>=x\sqrt{a^2-x^2}-\int{\sqrt{a^2-x^2}}+a^2\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math> | |||
ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת | ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת | ||
:<math>2\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}}</math> | |||
כאשר את האינטגרל האחרון נלמד ב[[שיטת ההצבה]] | כאשר את האינטגרל האחרון נלמד ב[[שיטת ההצבה]]. |
גרסה מ־00:41, 27 בינואר 2016
הגדרה
אינטגרציה בחלקים הוא כינוי לנוסחת האינטגרציה הבאה:
- [math]\displaystyle{ \int{f'\cdot g}=f\cdot g-\int{f\cdot g'} }[/math]
הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל:
- [math]\displaystyle{ (f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f }[/math]
דוגמאות
א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.
[math]\displaystyle{ \int{x\cdot\cos(x)}=? }[/math]
נסמן [math]\displaystyle{ f'=\cos(x)\ ,\ g=x }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ f=\sin(x)\ ,\ g'=1 }[/math]
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים
- [math]\displaystyle{ \int{x\cdot\cos(x)}=x\cdot\sin(x)-\int{\sin(x)}=x\cdot\sin(x)+\cos(x)+C }[/math] .
ב. בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם עדיין ניתן להעזר באינטגרציה בחלקים לפתרון הבעיה.
[math]\displaystyle{ \int{e^x\cdot\cos(x)}=? }[/math]
נסמן [math]\displaystyle{ I=\int{e^x\cdot\cos(x)} }[/math]
לכן
- [math]\displaystyle{ I=e^x\cdot\cos(x)+\int{e^x\cdot\sin(x)}=e^x\cdot\cos(x)+e^x\cdot\sin(x)-\int{e^x\cdot\cos(x)}=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)-I }[/math]
ולכן
- [math]\displaystyle{ 2I=e^x\big(sin(x)+\cos(x)\big) }[/math]
ומכאן יוצא
- [math]\displaystyle{ \int{e^x\cdot\cos(x)}=I=\frac{e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)}{2}+C }[/math] .
ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע [math]\displaystyle{ 1 }[/math] כנגזרת של הפונקציה [math]\displaystyle{ x }[/math] ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים.
[math]\displaystyle{ \int{\sqrt{a^2-x^2}}=? }[/math]
נסמן [math]\displaystyle{ f'=1\ ,\ g=\sqrt{a^2-x^2} }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ f=x\ ,\ g'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}} }[/math]
נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים:
- [math]\displaystyle{ \int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =x\sqrt{a^2-x^2}-\int{\sqrt{a^2-x^2}}+a^2\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}}= }[/math]
ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת
- [math]\displaystyle{ 2\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}} }[/math]
כאשר את האינטגרל האחרון נלמד בשיטת ההצבה.