אינטגרציה בחלקים: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
אין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
שורה 1: שורה 1:
[[קטגוריה:אינפי]]
[[קטגוריה:אינפי]]
==הגדרה==
==הגדרה==
'''אינטגרציה בחלקים''' הוא כינוי לנוסחאת האינטגרציה הבאה:
'''אינטגרציה בחלקים''' הוא כינוי לנוסחת האינטגרציה הבאה:


::<math>\int{f'g}=fg-\int{fg'}</math>
:<math>\int{f'\cdot g}=f\cdot g-\int{f\cdot g'}</math>


הנוסחא נובעת מיידית מנוסחאת גזירת כפל:
הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל:
::<math>(fg)'=f'g+g'f</math>
:<math>(f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f</math>


==דוגמאות==
==דוגמאות==
א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על ידי גזירתו. ייתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.
א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.


<math>\int{xcos(x)}=?</math>
<math>\int{x\cdot\cos(x)}=?</math>


נסמן <math>f'=cos(x),g=x</math>
נסמן <math>f'=\cos(x)\ ,\ g=x</math>


ולכן <math>f=sin(x),g'=1</math>
ולכן <math>f=\sin(x)\ ,\ g'=1</math>


ולפי נוסחאת אינטגרציה בחלקים מתקיים  
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים


::<math>\int{xcos(x)}=xsin(x)-\int{sin(x)}=xsin(x)+cos(x)+C</math>
:<math>\int{x\cdot\cos(x)}=x\cdot\sin(x)-\int{\sin(x)}=x\cdot\sin(x)+\cos(x)+C</math> .




ב. בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם עדיין ניתן להעזר באינטגרציה בחלקים לפתרון הבעיה.


<math>\int{e^x\cdot\cos(x)}=?</math>


ב. בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על ידי גזירה, אולם עדיין ניתן להעזר באינטגרציה בחלקים לפתרון הבעייה.
נסמן <math>I=\int{e^x\cdot\cos(x)}</math>
 
<math>\int{e^xcos(x)}=?</math>
 
נסמן  
 
::<math>I=\int{e^xcos(x)}</math>


לכן
לכן


::<math>I=e^xcos(x)+\int{e^xsin(x)}=e^xcos(x)+e^xsin(x)-\int{e^xcos(x)}=e^x\Big(sin(x)+cos(x)\Big)-I</math>
:<math>I=e^x\cdot\cos(x)+\int{e^x\cdot\sin(x)}=e^x\cdot\cos(x)+e^x\cdot\sin(x)-\int{e^x\cdot\cos(x)}=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)-I</math>


ולכן
ולכן


::<math>2I=e^x\Big(sin(x)+cos(x)\Big)</math>
:<math>2I=e^x\big(sin(x)+\cos(x)\big)</math>


ומכאן יוצא
ומכאן יוצא


::<math>\int{e^xcos(x)}=I=\frac{e^x\Big(sin(x)+cos(x)\Big)}{2}+C</math>
:<math>\int{e^x\cdot\cos(x)}=I=\frac{e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)}{2}+C</math> .
 


 
ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע <math>1</math> כנגזרת של הפונקציה <math>x</math> ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים.
ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע 1 כנגזרת של הפונקציה x ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעייה באמצעות אינטגרציה בחלקים.


<math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}=?</math>
<math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}=?</math>


נסמן <math>f'=1,g=\sqrt{a^2-x^2}</math>
נסמן <math>f'=1\ ,\ g=\sqrt{a^2-x^2}</math>


ולכן <math>f=x,g'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
ולכן <math>f=x\ ,\ g'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>


נפעיל את נוסחאת אינטגרציה בחלקים:
נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים:


::<math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>
:<math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>


::<math>=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>
:<math>=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>


::<math>=x\sqrt{a^2-x^2}-\int{\sqrt{a^2-x^2}}+a^2\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>
:<math>=x\sqrt{a^2-x^2}-\int{\sqrt{a^2-x^2}}+a^2\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>




ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת
ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת


::<math>2\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}</math>
:<math>2\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}}</math>
 


כאשר את האינטגרל האחרון נלמד ב[[שיטת ההצבה]]
כאשר את האינטגרל האחרון נלמד ב[[שיטת ההצבה]].

גרסה מ־00:41, 27 בינואר 2016

הגדרה

אינטגרציה בחלקים הוא כינוי לנוסחת האינטגרציה הבאה:

[math]\displaystyle{ \int{f'\cdot g}=f\cdot g-\int{f\cdot g'} }[/math]

הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל:

[math]\displaystyle{ (f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f }[/math]

דוגמאות

א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.

[math]\displaystyle{ \int{x\cdot\cos(x)}=? }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ f'=\cos(x)\ ,\ g=x }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ f=\sin(x)\ ,\ g'=1 }[/math]

לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים

[math]\displaystyle{ \int{x\cdot\cos(x)}=x\cdot\sin(x)-\int{\sin(x)}=x\cdot\sin(x)+\cos(x)+C }[/math] .


ב. בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם עדיין ניתן להעזר באינטגרציה בחלקים לפתרון הבעיה.

[math]\displaystyle{ \int{e^x\cdot\cos(x)}=? }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ I=\int{e^x\cdot\cos(x)} }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ I=e^x\cdot\cos(x)+\int{e^x\cdot\sin(x)}=e^x\cdot\cos(x)+e^x\cdot\sin(x)-\int{e^x\cdot\cos(x)}=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)-I }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ 2I=e^x\big(sin(x)+\cos(x)\big) }[/math]

ומכאן יוצא

[math]\displaystyle{ \int{e^x\cdot\cos(x)}=I=\frac{e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)}{2}+C }[/math] .

ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע [math]\displaystyle{ 1 }[/math] כנגזרת של הפונקציה [math]\displaystyle{ x }[/math] ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים.

[math]\displaystyle{ \int{\sqrt{a^2-x^2}}=? }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ f'=1\ ,\ g=\sqrt{a^2-x^2} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ f=x\ ,\ g'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}} }[/math]

נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים:

[math]\displaystyle{ \int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}= }[/math]
[math]\displaystyle{ =x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}= }[/math]
[math]\displaystyle{ =x\sqrt{a^2-x^2}-\int{\sqrt{a^2-x^2}}+a^2\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}}= }[/math]


ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת

[math]\displaystyle{ 2\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}} }[/math]

כאשר את האינטגרל האחרון נלמד בשיטת ההצבה.