הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים"
מתוך Math-Wiki
מ (←השתנות חסומה: שינוי משני מאוד) |
(←טורים) |
||
שורה 88: | שורה 88: | ||
* נתון כי כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0\in I</math> וכן <math>S=\sum_{n=1}^\infty f_n</math> במ"ש על <math>I</math>. אזי <math>S</math> רציפה ב-<math>x_0</math>. | * נתון כי כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0\in I</math> וכן <math>S=\sum_{n=1}^\infty f_n</math> במ"ש על <math>I</math>. אזי <math>S</math> רציפה ב-<math>x_0</math>. | ||
* <math>S=\sum_{n=1}^\infty f_n</math> במ"ש על <math>[a,b]</math> וכל <math>f_n</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>S</math> אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f</math>. | * <math>S=\sum_{n=1}^\infty f_n</math> במ"ש על <math>[a,b]</math> וכל <math>f_n</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>S</math> אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f</math>. | ||
− | * <math>\{f_n\}_{n\in\mathbb N}</math> היא סדרת | + | * <math>\{f_n\}_{n\in\mathbb N}</math> היא סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב-<math>I</math>. הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס בנקודה אחת לפחות בקטע, וטור הנגזרות <math>s=\sum_{n=1}^\infty f_n'</math> מתכנס במ"ש על <math>I</math>. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש לפונקציה גזירה <math>S</math> כך ש-<math>S'=s</math>. |
====טורי חזקות==== | ====טורי חזקות==== | ||
* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות. רדיוס ההתכנסות <math>R=\frac1{\overline{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}}</math> מקיים שאם הנקודה <math>x</math> מקיימת <math>|x-x_0|<R</math> אזי הטור מתכנס בהחלט, ואם <math>|x-x_0|>R</math> הטור מתבדר. כמו כן, הטור מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]</math> לכל <math>0<r<R</math>. | * יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות. רדיוס ההתכנסות <math>R=\frac1{\overline{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}}</math> מקיים שאם הנקודה <math>x</math> מקיימת <math>|x-x_0|<R</math> אזי הטור מתכנס בהחלט, ואם <math>|x-x_0|>R</math> הטור מתבדר. כמו כן, הטור מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]</math> לכל <math>0<r<R</math>. | ||
* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R</math>. אם קיים <math>S=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}</math> במובן הרחב אזי <math>S=R</math>. | * יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R</math>. אם קיים <math>S=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}</math> במובן הרחב אזי <math>S=R</math>. | ||
− | * יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> היא | + | * יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> היא פונקציה המוגדרת ב-<math>(x_0-R,x_0+R)</math>, כך שנגזרתה בקטע זה היא <math>f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n a_n(x-x_0)^{n-1}</math>. |
:* {{הערה|הכללה:}} בתנאים הללו, <math>f</math> גזירה אינסוף פעמים ו-<math>f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty\frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}</math> לכל <math>k\in\mathbb N\cup\{0\}</math>. יתרה מזאת, רדיוס ההתכנסות של הטורים הגזורים הוא <math>R</math>. | :* {{הערה|הכללה:}} בתנאים הללו, <math>f</math> גזירה אינסוף פעמים ו-<math>f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty\frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}</math> לכל <math>k\in\mathbb N\cup\{0\}</math>. יתרה מזאת, רדיוס ההתכנסות של הטורים הגזורים הוא <math>R</math>. | ||
* יהי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי לכל <math>n\in\mathbb N\cup\{0\}</math> מתקיים <math>a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}</math>, ז"א הטור הוא טור טיילור של <math>f</math> סביב <math>x_0</math>. | * יהי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי לכל <math>n\in\mathbb N\cup\{0\}</math> מתקיים <math>a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}</math>, ז"א הטור הוא טור טיילור של <math>f</math> סביב <math>x_0</math>. |
גרסה מ־20:30, 2 ביוני 2016
במשפטים הבאים, אלא אם צויין אחרת, נסמן:
-
הוא קבוע.
-
פונקציות.
- הקטע הנתון הוא הקטע הסגור
.
- אם מצויין שלפונקציה יש תכונה מסויימת אזי הכוונה לכך שהתכונה מתקיימת בקטע הנתון (למשל: "
חסומה" = "
חסומה ב-
").
-
היא חלוקה
של הקטע הנתון כך ש-
.
-
היא העדנה של
.
-
היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה
כך ש-
ו-
.
-
תוכן עניינים
אינטגרלים
- אם
ו-
קדומות ל-
בנקודה כלשהי אז קיים
כך ש-
.
- אם
חסומה ב-
אזי
.
- אם
(כלומר,
מתקבלת מ-
ע"י הוספת
נקודות) ו-
חסומה בקטע אזי
וכן
.
- לכל חלוקה
של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של
), אם
חסומה בקטע אזי
.
- לכל
אינטגרבילית מתקיים
.
- תהי
חסומה. אזי
וגם
.
- נניח ש-
חסומה.
אינטגרבילית אם"ם
.
- נניח ש-
חסומה.
אינטגרבילית אם"ם לכל
קיימת חלוקה
של
כך ש-
.
- אם
רציפה אז
אינטגרבילית.
- הכללה: אם
רציפה וחסומה בקטע הפתוח
אזי
אינטגרבילית.
- הכללה להכללה: אם
רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי
אינטגרבילית.
- הכללה להכללה: אם
- הכללה: אם
- אם
מונוטונית אזי היא אינטגרבילית.
- נניח ש-
. אזי
אינטגרבילית ב-
, ב-
וב-
אם"ם היא אינטגרבילית ב-
, ואם כן אז
.
- הכללה: עבור
כנ"ל ו-
(הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים
.
- הכללה: עבור
- אם
חסומה אז
. יתר על כן,
ו-
.
- הגדרות האינטגרל לפי דרבו ולפי רימן שקולות.
- לינאריות: עבור
אינטגרביליות מתקיים
.
- מונוטוניות: אם
אינטגרביליות וכן
אזי
.
- חיוביות: בפרט מתקיים שאם
אינטגרביליות ואי-שלילית אזי
.
- חיוביות: בפרט מתקיים שאם
- הכללה לאי-שיוויון המשולש: אם
אינטגרבילית אז
אינטגרבילית ו-
.
- אם
אינטגרבילית וחסומה אז
.
- מקרה פרטי: אם
ו-
אינטגרבילית אז
.
- מקרה פרטי: אם
(פונקציה קבועה) אז
.
- מקרה פרטי: אם
- מקרה פרטי: אם
- המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי
אינטגרבילית ותהי
כך ש-
. אזי
רציפה וכן לכל נקודה
ב-
שבה
רציפה,
קדומה ל-
(כלומר,
גזירה ב-
כך ש-
).
- נוסחת ניוטון-לייבניץ: תהי
רציפה. אזי
.
- לכל
רציפה יש פונקציה קדומה.
- אינטגרציה בחלקים: נניח כי
רציפות. אזי
.
- שיטת ההצבה:
.
- כל פונקציה רציונלית
כך ש-
ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים
כאשר
ול-
אין שורשים ממשיים.
- נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל-
אי-שלילית בין
ל-
סביב ציר ה-
הוא
.
- אם
רציפה אז הממוצע שלה בקטע
הוא
.
- אם
גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע
הוא
.
- שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של
רציפה סביב ציר ה-
בקטע
הוא
.
- קירוב האינטגרל בעזרת טורי טיילור: תהא
בעלת נגזרת
-ית רציפה. אזי
כאשר
הוא פיתוח טיילור מסדר
של
והשארית היא
עבור
כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב
.
- קירוב האינטגרל בשיטת המלבנים: תהא
בעלת נגזרת רציפה והחלוקה
היא חלוקה שווה כאשר לכל
מתקיים
. אזי
והשארית חסומה ע"י
כאשר
.
- קירוב האינטגרל בשיטת הטרפזים: תהא
בעלת נגזרת שנייה רציפה והחלוקה
היא חלוקה שווה כאשר לכל
מתקיים
. אזי
והשארית חסומה ע"י
כאשר
.
- קירוב האינטגרל בשיטת סימפסון: תהא
בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה
היא חלוקה שווה כאשר לכל
מתקיים
ו-
זוגי. אזי
והשגיאה חסומה ע"י
כאשר
.
- תהיינה
אינטגרביליות ב-
. אזי
אינטגרבילית ב-
ומתקיים
.
- תהא
אינטגרבילית מקומית ב-
ויהי
. אזי
אינטגרבילית ב-
אם"ם
אינטגרבילית ב-
ואם כן
.
-
מונוטונית עולה ב-
. אזי
קיים אם"ם
ואם כן
.
-
אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-
. אזי
מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים
חסומים מלעיל, ואם לא אז
.
- מבחן ההשוואה: נניח ש-
אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-
וכן
. אם
מתכנס אז
מתכנס.
- מבחן ההשוואה הגבולי:
אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-
וכן
. אזי אם
מתכנס אז
מתכנס.
- מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
- המבחן האינטגרלי לטורים: תהא
אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב-
עבור
כלשהו. אזי
מתכנס אם"ם
מתכנס.
- בפרט מתקיים
.
- בפרט מתקיים
- תהא
מוגדרת ב-
.
קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע, כלומר לכל
קיים
כך שאם
אזי
.
- תהא
אינטגרבילית מקומית ב-
. אזי
מתכנס אם"ם
.
- תהא
אינטגרבילית מקומית ב-
. אם
אינטגרבילית בקטע אזי גם
אינטגרבילית בו.
- מבחן דיריכלה: תהא
רציפה ב-
ונניח שהאינטגרלים החלקיים
חסומים כאשר
. כמו כן תהא
מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב-
ו-
. אזי
מתכנס.
- סכימה בחלקים:
כאשר
.
- משפט דיריכלה לטורים: נניח שלטור
יש סכומים חלקיים חסומים ונניח ש-
סדרה מונוטונית כך ש-
. אזי
מתכנס.
- אם
אינטגרביליות ב-
אזי לכל
מתקיים
.
- עבור
ו-
אינטגרבילית מקומית ב-
,
אינטגרבילית בקטע אם"ם
אינטגרבילית ב-
, ואם כן
.
- תהי
מונוטונית ב-
. אזי
קיים אם"ם
חסומה ב-
.
- אם
אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-
אז
אינטגרבילית ב-
אם"ם האינטגרלים החלקיים
חסומים כאשר
.
- מבחן ההשוואה:
אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב-
וכן
. אם
מתכנס אזי
מתכנס.
- מבחן ההשוואה הגבולי:
אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-
וקיים
. אם
מתכנס אז
מתכנס.
- מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
- תהא
אינטגרבילית מקומית ב-
. אזי
מתכנס אם"ם
.
- תהא
אינטגרבילית מקומית ב-
. אם
מתכנס אז
מתכנס.
סדרות וטורים של פונקציות
התכנסות במ"ש
סדרות
-
במ"ש על
, כלומר
, אם"ם
.
- נניח כי
במ"ש ב-
, ועבור
כלשהו
רציפה ב-
לכל
. אזי
רציפה ב-
.
-
במ"ש ב-
וכל
אינטגרבילית בקטע. אזי
אינטגרבילית בקטע ומתקיים
.
-
היא סדרת פוקציות בעלות נגזרות רציפות ב-
, המתכנסות במ"ש ב-
לפונקציה
. כמו כן,
מתכנסת בנקודה אחת לפחות ב-
. אזי
מוגדרת ב-
ומתקיים
.
- סדרת פונקציות
מתכנסת במ"ש אם"ם היא מקיימת את תנאי קושי במ"ש, כלומר
.
- משפט דיני: נתון כי כל
רציפה בקטע סגור
והסדרות
עולות לכל
או יורדות לכל
. כמו כן,
נקודתית ו-
רציפה ב-
. אזי
במ"ש.
טורים
- טור פונקציות
מתכנס במ"ש אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש, כלומר
.
- מבחן ה-M של ויירשטראס: נניח שכל
מוגדרת ב-
וחסומה שם, כלומר
עבור
כלשהו, וכן
מתכנס במובן הצר. אזי
מתכנס בהחלט במ"ש על
.
- נתון כי כל
רציפה ב-
וכן
במ"ש על
. אזי
רציפה ב-
.
-
במ"ש על
וכל
אינטגרבילית ב-
. אזי
אינטגרבילית בקטע ומתקיים
.
-
היא סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב-
. הטור
מתכנס בנקודה אחת לפחות בקטע, וטור הנגזרות
מתכנס במ"ש על
. אזי
מתכנס במ"ש לפונקציה גזירה
כך ש-
.
טורי חזקות
- יהי
טור חזקות. רדיוס ההתכנסות
מקיים שאם הנקודה
מקיימת
אזי הטור מתכנס בהחלט, ואם
הטור מתבדר. כמו כן, הטור מתכנס במ"ש ב-
לכל
.
- יהי
טור חזקות עם רדיוס התכנסות
. אם קיים
במובן הרחב אזי
.
- יהי
טור חזקות עם רדיוס התכנסות
. אזי
היא פונקציה המוגדרת ב-
, כך שנגזרתה בקטע זה היא
.
- הכללה: בתנאים הללו,
גזירה אינסוף פעמים ו-
לכל
. יתרה מזאת, רדיוס ההתכנסות של הטורים הגזורים הוא
.
- הכללה: בתנאים הללו,
- יהי
טור חזקות עם רדיוס התכנסות
. אזי לכל
מתקיים
, ז"א הטור הוא טור טיילור של
סביב
.
- יהי
טור חזקות עם רדיוס התכנסות
. אזי
אינטגרבילית ב-
ומתקיים לכל
בקטע
. רדיוס ההתכנסות של טור האינטגרל הוא
.
- משפט היחידות לטורי חזקות: אם
לכל
אזי
.
- משפט אבל: נניח ש-
טור חזקות בעל רדיוס התכנסות
. אם
קיים אזי
קיים ושווה לו, ואם
קיים אזי
קיים ושווה לו.
השתנות חסומה
-
בעלת השתנות חסומה בקטע סגור. אזי
חסומה.
-
בעלת השתנות חסומה בקטע סגור אם"ם יש
מונוטוניות עולות בקטע כך ש-
.
- תהי
בעלת השתנות חסומה ב-
. אזי לכל
קיים
ולכל
קיים
.
- תהי
בעלת השתנות חסומה ב-
. אזי
אינטגרבילית ב-
.