הבדלים בין גרסאות בדף "פתרונות לקורס לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - תרגיל 4"
(דף חדש: =תרגיל 4= *שימו לב - זה לא פתרון רשמי של ארז, אלא הפתרון שלי לתרגיל. --Ohad Abarbanel 11:48, 8 בדצמבר …) |
(אין הבדלים)
|
גרסה מ־00:52, 9 בדצמבר 2009
תוכן עניינים
תרגיל 4
- שימו לב - זה לא פתרון רשמי של ארז, אלא הפתרון שלי לתרגיל. --Ohad Abarbanel 11:48, 8 בדצמבר 2009 (UTC)
שאלה 1
הטענה לא נכונה. דוגמה נגדית:
הריבוי הגיאומטרי של 2 בשתי המטריצות הוא 3. המטריצות לא דומות כיוון שצורת הז'ורדן שלהן (הן עצמן) שונות.
שאלה 2
סעיף א'
סעיף ב'
סעיף ג'
שאלה 3
סעיף א'
A משולשית, לכן אברי האלכסון הם הע"ע של A כולל הריבוי האלגברי, לכן
.
נמצא את הפולינום המינימלי:
נבדוק את
:
נבדוק את
:
האפשרות היחידה שנותרה היא
לכן הפולינום המינימלי הוא
, לכן מטריצת הז'ורדן של A היא:
סעיף ב'
נניח שהפולינום המינימלי של I-A הוא ממעלה הקטנה מ-4, כלומר קיים
כך ש
, כלומר:
אם נפתח סוגריים נקבל פולינום ממעלה הקטנה מ-4 המאפס את A, וזוהי סתירה למינימליות של הפולינום המינימלי שמצאנו ב-א', לכן הפולינום המינימלי של I-A הוא ממעלה 4, והאפשרות היחידה היא
, לכן מטריצת הז'ורדן של I-A היא:
צורות הז'ורדן של A ושל I-A שוות לכן
.
שאלה 4
נמצא את
:
נמצא את
:
נבדוק את
:
לכן הפולינום המינימלי הוא
.
נבדוק האם
:
מצאנו ש
לכן בהכרח A לא דומה ל-B.
שאלה 5
חלק ראשון - שאלה 1
סעיף א'
לפי המשפט היסודי של האלגברה לכל פולינום ממעלה n יש n שורשים מרוכבים, לכן
מתפרק לגורמים לינאריים מעל
.
לפי משפט השילוש קיימת מטריצה B משולשת כך ש
, כלומר קיימת מטריצה P הפיכה כך ש
, לכן מתקיים:
על אלכסון המטריצה B נמצאים הערכים העצמיים של A, ו-B משולשית לכן
שווה למכפלת אברי האלכסון שהיא מכפלת הערכים העצמיים של A.
לכן
היא מכפלת הערכים העצמיים של A.
סעיף ב'
נניח בשלילה שקיימת
כך ש
.
ל-A יש 3 ערכים עצמיים (לא בהכרח שונים). נסמנם
.
לכן לפי א'
.
לפי ההנחה,
, לכן:
מכיוון ש
,
מתקיים
לכן גם
וזו סתירה לכך ש
,
לכן לא קיימת
כך ש
.
חלק שני - שאלה 5
סעיף א'
ריבוי אלגברי של ע"ע
הוא המספר הגדול ביותר
כך ש
.
ריבוי גיאומטרי של ע"ע הוא
כאשר
.
סעיף ב'
נמצא את
:
נמצא את הפולינום המינימלי:
נבדוק את
:
האפשרות היחידה שנותרה לפולינום המינימלי היא
.
לפי משפט בלוק הז'ורדן הגדול ביותר של 2 במטריצת הז'ורדן של A הוא בגודל 2 ובלוק הז'ורדן הגדול ביותר של 3 הוא 1, לכן מטריצת הז'ורדן של A היא: