משפט ההגדרה: הבדלים בין גרסאות בדף
אין תקציר עריכה |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 2: | שורה 2: | ||
=משפט ההגדרה= | =משפט ההגדרה= | ||
יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{v_1, | יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{v_1,\ldots,v_n\}</math> בסיס ל־<math>V</math> . יהי <math>W</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>w_1,\ldots,w_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים) | ||
אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\ | אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\to W</math> המקיימת: | ||
:<math>\begin{align}Tv_1&=w_1\\&\vdots\\Tv_n&=w_n\end{align}</math> | |||
<math>Tv_1=w_1 | |||
=הוכחה= | =הוכחה= | ||
יהי <math>v\in V</math> אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס B | יהי <math>v\in V</math> אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס <math>B</math> | ||
:<math>v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n</math> | |||
לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה <math>T</math> על ידי | |||
:<math>Tv=a_1w_1+\cdots+a_nw_n</math> | |||
לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה T על ידי | קל מאד להראות כי <math>T</math> המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר <math>Tv_i=w_i</math>). | ||
קל מאד להראות כי T המוגדרת לעיל | |||
ולכן S=T. | נותר להוכיח כי <math>T</math> יחידה. אמנם, אם <math>S</math> העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>Sv_i=w_i</math>), מתקיים: | ||
:<math>\forall v\in V:Sv=S(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)=a_1Sv_1+\cdots+a_nSv_n=a_1w_1+\cdots+a_nw_n=Tv</math> | |||
ולכן <math>S=T</math> . | |||
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]] | [[קטגוריה:אלגברה לינארית]] |
גרסה מ־14:22, 2 בספטמבר 2018
חזרה למשפטים בלינארית
משפט ההגדרה
יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו נוצר סופית, ויהי [math]\displaystyle{ B=\{v_1,\ldots,v_n\} }[/math] בסיס ל־[math]\displaystyle{ V }[/math] . יהי [math]\displaystyle{ W }[/math] מ"ו נוצר סופית ויהיו [math]\displaystyle{ w_1,\ldots,w_n }[/math] וקטורים כלשהם (לא בהכרח שונים)
אזי קיימת העתקה לינארית יחידה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] המקיימת:
- [math]\displaystyle{ \begin{align}Tv_1&=w_1\\&\vdots\\Tv_n&=w_n\end{align} }[/math]
הוכחה
יהי [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math]
- [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n }[/math]
לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה [math]\displaystyle{ T }[/math] על ידי
- [math]\displaystyle{ Tv=a_1w_1+\cdots+a_nw_n }[/math]
קל מאד להראות כי [math]\displaystyle{ T }[/math] המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר [math]\displaystyle{ Tv_i=w_i }[/math]).
נותר להוכיח כי [math]\displaystyle{ T }[/math] יחידה. אמנם, אם [math]\displaystyle{ S }[/math] העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר [math]\displaystyle{ Sv_i=w_i }[/math]), מתקיים:
- [math]\displaystyle{ \forall v\in V:Sv=S(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)=a_1Sv_1+\cdots+a_nSv_n=a_1w_1+\cdots+a_nw_n=Tv }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ S=T }[/math] .