משפט ההגדרה: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 2: שורה 2:


=משפט ההגדרה=
=משפט ההגדרה=
יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס ל-V. יהי W מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>w_1,...,w_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים)
יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{v_1,\ldots,v_n\}</math> בסיס ל־<math>V</math> . יהי <math>W</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>w_1,\ldots,w_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים)


אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\rightarrow W</math> המקיימת:
אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\to W</math> המקיימת:
 
:<math>\begin{align}Tv_1&=w_1\\&\vdots\\Tv_n&=w_n\end{align}</math>
<math>Tv_1=w_1</math>
 
<math>Tv_2=w_2</math>
 
:<math>\vdots</math>
 
<math>Tv_n=w_n</math>


=הוכחה=
=הוכחה=
יהי <math>v\in V</math> אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס B
יהי <math>v\in V</math> אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס <math>B</math>
 
:<math>v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n</math>
::<math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math>.
לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה <math>T</math> על ידי
 
:<math>Tv=a_1w_1+\cdots+a_nw_n</math>
לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה T על ידי
קל מאד להראות כי <math>T</math> המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר <math>Tv_i=w_i</math>).
 
::<math>Tv=a_1w_1+...+a_nw_n</math>.
 
 
קל מאד להראות כי T המוגדרת לעיל הינה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר <math>Tv_i=w_i</math>).
 
 
נותר להוכיח כי T יחידה. אמנם, אם S העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>Sv_i=w_i</math>), מתקיים:
 
::<math>\forall v\in V:Sv=S(a_1v_1+...+a_nv_n)=a_1Sv_1+...+a_nSv_n=a_1w_1+...+a_nw_n=Tv</math>


ולכן S=T.
נותר להוכיח כי <math>T</math> יחידה. אמנם, אם <math>S</math> העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>Sv_i=w_i</math>), מתקיים:
:<math>\forall v\in V:Sv=S(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)=a_1Sv_1+\cdots+a_nSv_n=a_1w_1+\cdots+a_nw_n=Tv</math>
ולכן <math>S=T</math> .


[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

גרסה מ־14:22, 2 בספטמבר 2018

חזרה למשפטים בלינארית

משפט ההגדרה

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו נוצר סופית, ויהי [math]\displaystyle{ B=\{v_1,\ldots,v_n\} }[/math] בסיס ל־[math]\displaystyle{ V }[/math] . יהי [math]\displaystyle{ W }[/math] מ"ו נוצר סופית ויהיו [math]\displaystyle{ w_1,\ldots,w_n }[/math] וקטורים כלשהם (לא בהכרח שונים)

אזי קיימת העתקה לינארית יחידה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] המקיימת:

[math]\displaystyle{ \begin{align}Tv_1&=w_1\\&\vdots\\Tv_n&=w_n\end{align} }[/math]

הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math]

[math]\displaystyle{ v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n }[/math]

לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה [math]\displaystyle{ T }[/math] על ידי

[math]\displaystyle{ Tv=a_1w_1+\cdots+a_nw_n }[/math]

קל מאד להראות כי [math]\displaystyle{ T }[/math] המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר [math]\displaystyle{ Tv_i=w_i }[/math]).

נותר להוכיח כי [math]\displaystyle{ T }[/math] יחידה. אמנם, אם [math]\displaystyle{ S }[/math] העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר [math]\displaystyle{ Sv_i=w_i }[/math]), מתקיים:

[math]\displaystyle{ \forall v\in V:Sv=S(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)=a_1Sv_1+\cdots+a_nSv_n=a_1w_1+\cdots+a_nw_n=Tv }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ S=T }[/math] .