אנליזת פורייה - ארז שיינר: הבדלים בין גרסאות בדף
(←גלים) |
(←גלים) |
||
שורה 33: | שורה 33: | ||
**לגל החדש יש פאזה שאינה אפס. | **לגל החדש יש פאזה שאינה אפס. | ||
**האפליטודה של הגל החדש היא <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math>. | **האפליטודה של הגל החדש היא <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math>. | ||
*האם כל פונקציה היא סכום של גלים? | |||
*בהנתן פונקציה שהיא סכום של גלים, כיצד נמצא מיהם הגלים המרכיבים אותה? | |||
*האם יש דרך יחידה להרכיב פונקציה מגלים? (למעשה כבר ראינו שלא באופן כללי - הרי הצלחנו להציג גל אחד כסכום של שני גלים אחרים). | |||
*למה בכלל מעניין אותנו לפרק פונקציה לגלים? | |||
*במהלך ההרצאות נענה (לפחות חלקית) על השאלות הללו. | |||
==טורי פורייה== | ==טורי פורייה== |
גרסה מ־08:09, 19 בפברואר 2019
מבחנים לדוגמא
תקציר ההרצאות
הקדמה
גלים
- מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית.
- לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות:
- תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור)
- אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום)
- פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
- אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.
- מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
- למדנו במד"ר על המשוואה [math]\displaystyle{ y''=-k^2y }[/math] שהפתרון הכללי שלה הוא [math]\displaystyle{ y=a\sin(kt)+b\cos(kt) }[/math].
- הקבוע [math]\displaystyle{ k }[/math] קובע את התדר של כל גל.
- הקבועים [math]\displaystyle{ a,b }[/math] קובעים את האמפליטודה של כל גל.
- מה לגבי הפאזה?
- בפונקציה [math]\displaystyle{ a\sin(kt+t_0) }[/math], הקבוע [math]\displaystyle{ t_0 }[/math] קובע את הפאזה.
- ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה:
- [math]\displaystyle{ a\sin(kt+t_0)=(a\sin(t_0))cos(kt)+(a\cos(t_0))sin(kt) }[/math]
- האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי [math]\displaystyle{ a\sin(kt)+b\cos(kt) }[/math] ניתן להציג כגל יחיד?
- תשובה: כן.
- הוכחה:
- נסמן [math]\displaystyle{ z=a+bi=rcis(\theta) }[/math]
- כלומר [math]\displaystyle{ a\sin(kt)+b\cos(kt)=r\sin(\theta)sin(kt)+r\cos(\theta)cos(kt)=rcos(kt-\theta) }[/math]
- שימו לב:
- סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש.
- הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים.
- לגל החדש יש פאזה שאינה אפס.
- האפליטודה של הגל החדש היא [math]\displaystyle{ r=\sqrt{a^2+b^2} }[/math].
- האם כל פונקציה היא סכום של גלים?
- בהנתן פונקציה שהיא סכום של גלים, כיצד נמצא מיהם הגלים המרכיבים אותה?
- האם יש דרך יחידה להרכיב פונקציה מגלים? (למעשה כבר ראינו שלא באופן כללי - הרי הצלחנו להציג גל אחד כסכום של שני גלים אחרים).
- למה בכלל מעניין אותנו לפרק פונקציה לגלים?
- במהלך ההרצאות נענה (לפחות חלקית) על השאלות הללו.