משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.5.11
תוכן עניינים
התכנסות במידה שווה (המשך)
תזכורת: תהי סדרת פונקציות בקטע I כך שלכל
קיים הגבול
(כלומר, הפונקציה הגבולית מוגדרת בכל I). הגדרנו ש-
במידה שווה ב-I אם לכל
קיים
כך שאם
אז
לכל
.
הערה
אם במ"ש על I אז לכל
ברור שמתקיים
, כלומר התכנסות במ"ש גוררת התכנסות נקודתית. ההיפך אינו נכון.
משפט 1
יהיו קבוצת הפונקציות והפונקציה f מוגדרות בקטע I. אז התנאים הבאים שקולים:
-
במ"ש ב-I
-
הוכחה
ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני: אם נגדיר לכל n את אז יש להוכיח כי
. אבל אם
ידוע כי קיים
כך שלכל
מתקיים
לכל
. נובע מיד שאם
אז
ולכן
והוכחנו
, כדרוש.
לצד השני יהי נתון. ידוע כי קיים
כך שלכל
מתקיים
ולכן
עבור
.
דוגמה
בקטע ברור כי
.
נראה כי ההתכנסות נקודתית ולא במ"ש: .
נעיר כי בקטע עבור
דווקא יש התכנסות במ"ש:
ולכן
, כדרוש.
משפט 2
נניח ש- במ"ש ב-I. עוד נניח שעבור איזה
כל
רציפה ב-
. אזי גם f רציפה ב-
.
הוכחה
יהי נתון.
במ"ש ב-I ולכן קיים n טבעי מסויים כך שלכל
מתקיים
.
רציפה ב-
ולכן קיים
כך שאם
אז
נובע שאם
אז
.
מסקנה
בתנאים של משפט 2, אם כל רציפה בקטע I כולו, אז גם f רציפה ב-I כולו.
דוגמה
בקטע ברור כי
. כאן כל
רציפה ב-
ואילו הפונקציה הגבולית לא רציפה. זה אינו סותר את משפט 2 כי כבר ראינו שההתכנסות אינה במ"ש.
משפט 3
נניח שלכל n מוגדרת ואינטגרבילית ב-
ונניח שקיים
במ"ש ב-I. אזי f אינטגרבילית ב-I ומתקיים
.
הוכחה
לא נוכיח שבתנאים הללו f אינטגרבילית (בד"כ זה יתקיים אוטומטית אם כל ה- רציפות למקוטעין), ונסתפק בהוכחה לכך ש-
. שקול להוכיח ש-
. ובכן יהי
נתון. כיוון ש-
במ"ש על I
. נובע שלכל
. מכאן נובע ש-
.
דוגמה
משמאל נתונה הפונקציה עבור
כלשהו.
נוכיח כי : עבור
לכל n
ולכן
. אם
אז קיים
כך ש-
ולכן לכל
מתקיים
, מה שגורר כי
לכל
ונובע ש-
. בזה הוכחנו את הטענה ש-
נקודתית ב-
.
נעיר שההתכנסות "מאוד" לא במ"ש כי
.
![\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n\ne\int\limits_0^1 0\mathrm dx](/images/math/6/2/8/6281627c34406c80c047416d340e75fc.png)
![f(x)=0](/images/math/f/d/0/fd05d8d90456c441c8f10641bd8576bc.png)
![\int\limits_0^1 f_n=](/images/math/9/2/5/9257fa8680af187f9464c87338b1865b.png)
![=\frac12\cdot n\cdot\frac2n=1\ne0](/images/math/5/6/3/563fce91786953a52adf8e3fc4d0ac22.png)
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)
השערה סבירה אבל מאוד לא נכונה: אם במ"ש ב-I אז
ב-I. דוגמה נגדית: נגדיר
.
- נוכיח ש-
במ"ש בכל
:
.
- נוכיח
: לכל n ולכל
מתקיים
ועבור
כלשהו
שאינו קיים.
משפט 4
תהי סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות
בקטע
. נניח שהסדרה
מתכנסת בנקודה אחת (לפחות)
והסדרה
מתכנסת במ"ש ל-g ב-
. אזי
קיים לכל
ומגדיר פונקציה גבולית f שהיא גזירה ב-
. יתר על כן
.
הוכחה
נקח כלשהי. לכל n הפונקציה
רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר
. נעביר אגף:
. כעת נתון שקיים
, נקרא לו
. יתר על כן נתון ש-
במ"ש ב-
וכל שכן
במ"ש בתת הקטע בין
ל-x. נסיק ממשפט 3 ש-
נובע שלכל
קיים
והוכחנו את קיום הפונקציה הגבולית f. נותר להוכיח שהיא גזירה וש-
. לפי הנתון כל
רציפה ו-
במ"ש על
. לכן משפט 2 נותן ש-
רציפה ב-
וכיוון שלכל
מתקיים
החלק הראשון של המשפט היסודי נותן
לכל
.