משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.2.11
תוכן עניינים
האינטגרל לפי דרבו (המשך)
משפט 8
נניח ש-f מוגדרת וחסומה בקטע ונניח ש-
. אזי f אינטגרבילית ב-
וב-
אם"ם היא אינטגרבילית ב-
, ואם כן מתקיים
.
הוכחה
: נתונה f אינטגרבילית ב-
וב-
. נקח חלוקה כלשהי P של
וחלוקה Q של
ונגדיר
(כלומר R חלוקה של
). לכן מתקיים
. נשאיף
. לפי הנתון
וגם
, לכן
. באותו אופן נקבל
. הראנו ש-
ולכן f אינטגרבילית ב-
. ע"פ משפט 4 נסיק
.
: נבחר חלוקות P,Q,R כמו בחלק הקודם, ושוב
ו-
. נחסיר ונקבל:
. כעת, אם
, האינטגרביליות של f על
גוררת שעבור
ו-
מספיק קטנים
. קיום חלוקה P כזאת לכל
מוכיח ש-f אינטגרבילית ב-
וקיום חלוקה Q - ב-
. השיוויון
נובע מהחלק הקודם.
הכללה
אם ואם f אינטגרבילית ב-
אז
. ההוכחה באינדוקציה.
מוסכמות:
-
- אם
ואם f אינטגרבילית ב-
נרשום
(אלה מוסכמות ולא משפטים כי באופן שבו הגדרנו את האינטגרל עד עכשיו, לא מוגדר עבור
)
עם מוסכמות אלה יתקיים:
באופן בלתי תלוי בסדר של המספרים a,b,c. למשל, אם
אז לפי משפט 8
. נבדוק:
ולכן
, מה שגורר
.
משפט 9
תהי f מוגדרת וחסומה ב-. עוד נניח ש-f רציפה ב-
. אזי f אינטגרבילית ב-
.
הוכחה
יהי![\varepsilon>0](/images/math/b/0/f/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png)
![c=a+\frac\varepsilon{2\Omega}](/images/math/c/7/7/c77c1223ee4ed2d9d226545bdb832808.png)
![[c,b]](/images/math/d/6/0/d6033df87877013a91e322ce6a5bc181.png)
![[c,b]](/images/math/d/6/0/d6033df87877013a91e322ce6a5bc181.png)
![[c,b]](/images/math/d/6/0/d6033df87877013a91e322ce6a5bc181.png)
![\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\frac\varepsilon2](/images/math/e/4/8/e4863dabb9282c623b39ab4beb21244b.png)
![[a,b]](/images/math/2/c/3/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
![Q=\{a\}\cup P](/images/math/f/8/c/f8c2d01efe1faa1bc7f9285aee1e927e.png)
![M'=\sup\{f(x):\ a\le x\le c\}](/images/math/4/1/6/41624b23bf9a08bbe2bb5b85524c1b03.png)
![m'=\inf\{f(x):\ a\le x\le c\}](/images/math/9/b/a/9ba5d127c277254560938d42e708ca0b.png)
![\begin{align}\overline S(f,Q)-\underline S(f,Q)&=(M'-m')(c-a)+\overline S(f,P)-\underline S(f,P)\\&<\Omega(c-a)+\frac\varepsilon2\\&=\Omega\cdot\frac\varepsilon{2\Omega}+\frac\varepsilon2\\&=\varepsilon\end{align}](/images/math/d/6/4/d64dfcf2e7621d04f5c96fc471c48c16.png)
![[a,b]](/images/math/2/c/3/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)
מסקנה 1
המשפט נכון אם f חסומה ורציפה ב-.
מסקנה 2
נניח ש-f חסומה ב- ורציפה שם פרט למספר סופי של נקודות
כך ש-
. אזי f אינטגרבילית ב-
.
הוכחה
עבור כל k נקבל ש-f חסומה ב- ורציפה ב-
. לפי מסקנה 1, f אינטגרבילית ב-
. נסתמך על ההכללה למשפט 8 לומר ש-f אינטגרבילית ב-
.
הגדרה: אומרים ש-f "רציפה למקוטעין" ב- אם היא רציפה שם פרט למספר סופי של נקודות אי-רציפות ממין ראשון.
נובע ממסקנה 2 שכל פונקציה רציפה למקוטעין ב- אינטגרבילית שם. באופן דומה אפשר להוכיח שאם f מוגדרת ו"מונוטונית למקוטעין" ב-
אז היא אינטגרבילית שם.
האינטגרל לפי רימן
הקדמה - הגישה של רימן
נניח ש-f מוגדרת וחסומה ב-. נבחר חלוקה P של
:
. עוד נבחר לכל k מספר
ונכנה כ-P' את התת חלוקה
. ז"א
. בהתאם לכך נבנה סכום רימן
כאשר לכל k מתקיים
.
מקרב את השטח שמתחת לגרף, אך לא ידוע אם הוא גדול, קטן או שווה לו.
נעיר שעל חלוקה אחת P של אפשר לבנות אינסוף סכומי רימן
. עם זאת, יתקיים תמיד
. יתר על כן,
ו-
.
הגדרת האינטגרל לפי רימן: תהי f מוגדרת וחסומה ב-. נאמר ש-f אינטגרבילית ב-
אם כאשר
כל סכומי רימן
שואפים לגבול אחד, שיסומן
.
משפט 10
תהי f מוגדרת וחסומה ב-. אזי f אינטגרבילית שם לפי רימן אם"ם f אינטגרבילית שם לפי דרבו, ואם כן אז
(לפי רימן)
(לפי דרבו).
הוכחה
תחילה נניח ש-f אינטגרבילית לפי דרבו. נעיר שלכל חלוקה P ותת חלוקה P' של :
. כעת נשאיף
. כיוון ש-f אינטגרבילית דרבו,
וכן
לכן משפט הסנדויץ' מבטיח ש-
קיים ושווה ל-
. ז"א f אינטגרבילית רימן ומתקיים
.
לצד השני, נניח ש-f אינטגרבילית רימן. אזי מתקיים . אם כן הוא גם שווה ל-
,ובאופן דומה עבור אינטגרל תחתון (לפי דרבו, כמובן). מצאנו
. עצם זה שהאינטגרל העליון והתחתון שווים אומר ש-f אינטגרבילית דרבו וגם הוכחנו ש-
.
משפט 11 (תכונות האינטגרל)
נניח ש-f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות ב-, ונניח ש-c קבוע כלשהו. אזי:
- (לינאריות):
אינטגרבילית ב-
ומתקיים
.
- (מונוטוניות): אם
לכל
אז
. (חיוביות): בפרט, אם
אז
.
- (הכללה לאי-שיוויון המשולש): |f| אינטגרבילית ב-
וגם
.
- אם
ב-
אז
ואם
בקטע זה אז אז
.
- אם
(פונקציה קבועה) אז
.
הוכחה
. נשאיף
. כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א
. עצם קיום הגבול אומר ש-
אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק
.
את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו:
![\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k](/images/math/9/6/2/962331cac2d08df0748169ab1f3dc00a.png)
![\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k](/images/math/1/5/a/15ad64de843ae0c7ac401e390e062400.png)
![\lambda(P)\to0](/images/math/6/0/3/603407cbb18065b7cc3aac19b4f493c7.png)
![\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g](/images/math/b/2/3/b23cf0f4d52a3c67002b5f9a6b69bd14.png)
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)
![\Omega](/images/math/b/9/d/b9d99db8626de63193c7fe96273a6cae.png)
![\Omega(f)=\sup\{|f(x)-f(y)|:\ x,y\in[a,b]\}](/images/math/d/5/5/d55228526171b8599af0542a0d8414c0.png)
![\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\le|f(x)-f(y)|](/images/math/2/1/a/21a022f6ce7f6167c358c11e578c31b7.png)
![\Omega(|f|)=\sup_{x,y\in[a,b]}\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\le\sup_{x,y\in[a,b]}|f(x)-f(y)|=\Omega(f)](/images/math/2/1/1/211c5c4e01f8709b2e1d106f0077d183.png)
![[a,b]](/images/math/2/c/3/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
![\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n (M_k(f)-m_k(f))\Delta x_k](/images/math/2/e/7/2e7a24471d1cbb5fac39ffbf0a6b0404.png)
![M_k(f)-m_k(f)](/images/math/f/7/c/f7c7f4903d7237fb55cac9d69ad656cd.png)
![[x_{k-1},x_k]](/images/math/2/2/4/224be76d80cdbec9a700c2096afa4264.png)
![\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n \Big(M_k(f)-m_k(f)\Big)\Delta x_k\\&\ge\sum_{k=1}^n \Big(M_k(|f|)-m_k(|f|)\Big)\Delta x_k\\&=\overline S(|f|,P)-\underline S(|f|,P)\end{align}](/images/math/0/7/5/0752c26202d518d31bdd901598fdbd18.png)
![\varepsilon>0](/images/math/b/0/f/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png)
![[a,b]](/images/math/2/c/3/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
![\overline S(|f|,P)-\underline S(|f|,P)\le\overline S(f,P)-\underline S(f,P)\to0](/images/math/7/c/f/7cfc703d2919917cb6f4299a6b69327a.png)
![\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|](/images/math/d/b/e/dbe0eca30606f6a94d1b4ee718d229aa.png)
![\left|\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k\right|\le\sum_{k=1}^n |f(c_k)|\Delta x_k](/images/math/d/7/2/d7251827dd4f744c63ad76df9285523d.png)
![\lambda(P)\to0](/images/math/6/0/3/603407cbb18065b7cc3aac19b4f493c7.png)
![\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b|f|](/images/math/d/b/e/dbe0eca30606f6a94d1b4ee718d229aa.png)
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)
![m\le f(x)\le M](/images/math/a/3/c/a3c6e0da31e25940b37e13623a585665.png)
![[a,b]](/images/math/2/c/3/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
![m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)](/images/math/8/4/c/84c9b4e765d3dd5fb882c3f0a2334084.png)
![\lambda(P)\to0](/images/math/6/0/3/603407cbb18065b7cc3aac19b4f493c7.png)
![m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)](/images/math/1/8/c/18c2c39150f39450d598fd3f61b6da40.png)
![|f(x)|\le M](/images/math/f/3/f/f3f5684bd06eedebd2ffda4ea6befde7.png)
![\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|\le M(b-a)](/images/math/c/6/4/c64e24e855565968a9fbcf8f4f5e07ee.png)
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)
![M\le f(x)\le M](/images/math/2/1/1/2118a80845eafcae88681315d9bcd38e.png)
![M(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)](/images/math/1/d/0/1d07a96a3e9d098362f9316f5f45f873.png)
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)
</ol>