פתרון 4 (אלעד איטח)
א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא
ב. לפולינום המינימאלי של יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של
.
אחרי חישוב נקבל ש-
כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של
שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את
.
לכן הפולינום המינימאלי של A הוא
.
ג. הע"ע של הם שורשי הפולינום האופייני של
, שהם
ו
.
ד. נגדיר -הריבוי האלגברי של ע"ע
ו-
הריבוי הגיאומטרי שלו.
הריבוי האלגברי של ע"ע
מוגדר בתור האינדקס הגדול ביותר
שעבורו
מחלק את הפולינום האופייני של
. לכן,
הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע קטן או
שווה לריבוי האלגברי שלו וגם גדול או שווה ל
. לכן,
.
הריבוי הגיאומטרי של ע"ע מוגדר בתור המימד של המרחב העצמי המתאים לע"ע זה. לפיכך,
ה.הפולינום האופייני של מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן ל
.
מס' הבלוקים הקשורים לכל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי שלו, ולכן לכל אחד מהע"ע יש בלוק אחד.
A היא מסדר 3, ולכן צורת הז'ורדן שלה היא מסדר 3, והיא מכילה בלוק מסדר 2 ובלוק מסדר 1.
הסדר של הבלוק הגדול ביותר (ובמקרה זה, גם היחיד) של כל ע"ע למדה הוא החזקה של הגורם
בפולינום המינימאלי של
. לכן, הבלוק הקשור לע"ע
הוא מסדר
והבלוק הקשור לע"ע
הוא מסדר
.
לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא
דרך כמו שרשום בחוברת
הבלוק הכי גדול של 1 הוא בסדר
ולכן יש בלוק והריבוי ו2 הוא שורש של הפולינום האופייני ולכן יש בלוק
אבל נשאר מקום רק עבור בלוק מסדר 1
ולכן צורת הז'ורדן של A היא