אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/תקציר
מתוך Math-Wiki
להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
-
פונקציות.
- בהנתן
נסמן
ו־
.
-
הם מקדמי פורייה של
(בהתאמה) בטור פורייה של
, ו־
מקדמי פורייה של
בטור פורייה המרוכב.
-
היא העצרת הכפולה של
, והיא שווה למכפלת כל המספרים האי־זוגיים (אם
אי־זוגי) מ־1 עד
, או כל המספרים הזוגיים (אחרת). כלומר:
ו־
.
-
אורתונורמלית ו־
אורתוגונלית.
- אי־שוויון הולדר: אם
כאשר
(כלומר,
צמודים) אזי
.
- אם
אזי
.
- ההיטל של
על
הוא
.
- אם
בסיס אורתוגונלי אזי הקירוב הטוב ביותר ל־
ב־
הוא
, כלומר
.
- אי־שוויון בסל:
.
- תהליך גרם־שמידט: בהנתן בסיס
נוכל להגדיר בסיס אורתוגונלי
ובסיס אורתונורמלי
באופן הבא:
- מרחב הפולינומים ממעלה
או פחות מסומן
.
- פולינומי לז׳נדר: בהנתן המכפלה הפנימית
על מרחב הפולינומים
, הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס
הם
ניתן לחשב אותם גם ע״יאו
, והם מקיימים
.
- פולינומי צבישב: בהנתן המכפלה הפנימית
על מרחב הפולינומים
, הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס
הם
ניתן לחשב אותם גם ע״י(נוסחת רודריגז) או
, והם מקיימים
.
- פונקציה רציפה למקוטעין היא פונקציה רציפה למעט במספר סופי של נקודות אי־רציפות שאינן מסוג שני. הפונקציות הרציפות למקוטעין בקטע
יוצרות מרחב מכפלה פנימית
עם
. מכפלה פנימית שימושית נוספת היא
.
-
הוא סימון מקוצר ל־
.
-
- מערכת סגורה: נתונה קבוצה אורתונורמלית אינסופית
במרחב מכפלה פנימית. המערכת תקרא סגורה אם היא מקיימת לכל וקטור
את התנאי
.
- המערכות
ו־
אורתונורמליות סגורות ב־
לפי המכפלות הפנימיות
ו־
בהתאמה.
- טור פורייה של
ב־
הוא
כאשר
.
- אם
זוגית זה טור קוסינוסים, ואם היא אי־זוגית זה טור סינוסים.
- מתקיים
.
- אם
- טור פורייה המרוכב של
ב־
הוא
כאשר
.
- מתקיים
וכן
.
- מתקיים
- אם
ו־
הסכום החלקי ה־
־י של טור פורייה (מרוכב או ממשי) של
, אזי
.
-
הוא מרחב כל הפוקנציות ב־
שקיימות להן הנגזרות החד־צדדיות בכל נקודה ב־
למעט, אולי, בקצות הקטע.
- משפט ההתכנסות (משפט דיריכלה): תהי
אינטגרבילית בהחלט ובעלת מחזור
. בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור פורייה ב־
מתכנס ל־
.
- אם
אזי ניתן ליצור המשכה מחזורית שלה ב־
.
- אם
נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־
.
- אם
- למת רימן־לבג: אם
אינטגרבילית בהחלט אזי
כאשר
(זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה).
- גרעין דיריכלה:
. בנוסף, האינטגרל של הביטוי ב־
שווה ל־
.
- אם
רציפה ב־
ו־
אז טור פורייה של
יתכנס אליה במ״ש על הקטע.
- שוויון פרסבל: אם
אזי
ו־
.
- שוויון פרסבל המוכלל: אם
אזי
כאשר
.
- שוויון פרסבל המוכלל: אם
- אם
רציפה ב־
,
ו־
אזי טור פורייה של
גזיר איבר־איבר ומתקיים
.
- אם
אזי ניתן לבצע אינטגרציה איבר־איבר על טור פורייה. בנוסף, לכל
ולכל
מתקיים
והטורים מתכנסים במ״ש.
- אם
קדומה ל־
ב־
אזי
.
- אם