מרחב ניצב
הגדרה
יהי מרחב מכפלה פנימית V ותהי קבוצת וקטורים . אזי הקבוצה
הינה מרחב וקטורי. אנו קוראים ל המרחב הניצב ל-S
תרגילים
משפט הפירוק הניצב
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהי תת מרחב הוכיחו כי
1
יהי V מרחב מכפלה פנימית. הוכח את הטענות הבאות:
א.
ב.
ג. אם אזי
ד. לכל קבוצה מתקיים
פתרון:
א.
ב.
אם כך, נניח , כיוון
מתקיים ביחד
ולפי אי שליליות
לכן סה"כ
ג.
נניח לכן לכל
מתקיים
.
לכן בפרט, לכל מתקיים
ולכן
ולכן
ד.
כיוון ש , לפי סעיף קודם ברור כי
.
כעת, אם אזי לכל צירוף לינארי
מתקיים
כלומר ולכן גם
2
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו תתי מרחבים. הוכיחו/הפריכו:
א.
ב.
ג.
פתרון:
א. הפרכה:
ב. הוכחה:
נניח .
יהי לכן:
כיוון ש וגם
ולכן
נניח .
יהי לכן בפרט
ולכן
לכן ובאופן דומה
סה"כ
ג. הפרכה:
3
יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו תתי מרחבים כך ש
. הוכיחו/הפריכו
הפרכה: