חזרה לדף מערכי התרגול.
המשך קבוצות
משלים
הגדרה: תהי קבוצה , ונביט בתת קבוצה שלה
. ניתן להגדיר את המשלים של
כאוסף האיברים ב-
שאינם ב-
(כלומר ההפרש
), המסומן
. לא ניתן לדבר על משלים אוניברסלי ללא
מכיוון שאין קבוצה המכילה את כל הדברים בעולם (אחרת נגיע לסתירות כמו פרדוקס ראסל).
תכונות בסיסיות:
על המשלימים מתקיימים חוקי דה מורגן (הנובעים ישירות מחוקי דה מורגן בלוגיקה):
הערה: באופן כללי מתקיים
תרגיל
הוכיחו כי .
פתרון
נשתמש בהצגת ההפרש הסימטרי כאיחוד ההפרשים:
ומחילופיות "וגם" ו"או":
תרגיל
לכל נגדיר
ונגדיר
.
א. מצאו את .
ב. נגדיר . מצאו את
.
פתרון
א. התשובה: . הוכחה:
: הכל תת קבוצות של הטבעיים וכל הקבוצות מוגדרות ע"י איברים הגדולים מ-
.
: יהי
נמצא קבוצה בה הוא נמצא. נשים לב ש-
. לכן אם
זוגי הוא נמצא ב-
ואם אי-זוגי אז
.
ב. נתייחס ל- כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:
.
קבוצת החזקה
הגדרה: תהי קבוצה . נגדיר את קבוצת החזקה של
בתור אוסף כל תת הקבוצות של
. נסמן
.
האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה? הוכיחו זאת באינדוקציה.
תרגיל
הוכיחו או הפריכו: .
פתרון
הפרכה : ניקח .
תרגיל
הוכיחו או הפריכו:
א.
ב.
פתרון
א. הוכחה:
ב. הפרכה: ניקח . אז
, אבל לא ל-
.
למעשה הוכיחו כי אם ורק אם
או
.
תרגיל ממבחן
תהינה קבוצות. הוכיחו או הפריכו:
א. אם אזי
ב. אם אזי
ג. אם אזי
פתרון
א. הפרכה: . אזי ברור ש-
איננה מוכלת בחיתוך
אבל
.
ב. נתון שלכל מתקיים
. אזי
כעת, הצד הימני הוא טאוטולוגיה וניתן להסיר אותו. מכיוון שנתון ניתן להסיק בקלות ש-
, כפי שרצינו.
דרך נוספת: נגדיר את להיות הקבוצה האוניברסאלית
ואז צריך להוכיח כי
וזה אכן נכון!
ג. נניח בשלילה ש-. מכיוון שהקבוצה הריקה שייכת לכל קבוצת חזקה, החיתוך אינו ריק. לכן לפי הנחת השלילה קיימת קבוצה לא ריקה
השייכת לחיתוך
. קבוצות החזקה הן אוסף תת הקבוצות, ולכן
. מכיוון ש-
אינה ריקה קיים בה איבר
וקל לראות ש-
ולכן
מוכל בחיתוך, בסתירה לכך שהחיתוך ריק.