משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/5.4.11
מתוך Math-Wiki
תוכן עניינים
אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)
דוגמאות חישוב
- נחשב
:
דרך קיצור: -
: נציב
ואז כאשר
נקבל
וכאשר
נקבל
ולכן
.
- עבור
נחשב
: אם
זה
, כלומר מתבדר. עבור
נקבל
, כלומר האינטגרל מתכנס
.
הערה: עבור
מתקבל
בקטע
. לכן מבין הפונקציות
, הפונקציה המינימלית שעבורה האינטגרל על
מתבדר היא
. אבל יש פונקציה מסדר גודל יותר קטן מ-
שעבורן האינטגרל מתבדר, למשל
. "קל לבדוק" שעבור
האינטגרל
מתכנס אם"ם
.
- נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב-
ונניח ש-
. נוכיח כי קיימת פונקציה g אי-שלילית ורציפה ב-
מסדר גודל יותר קטן מ-f, ז"א
, ועדיין
. ובכן נגדיר
אז כמובן ש-
ולפי הנתון
. נגדיר
ולכן
, ז"א g מסדר גודל קטן מ-f. כעת
.
- נניח ש-f אי-שלילית ורציפה ב-
ו-
מתכנס. נוכיח שקיימת g אי-שלילת מסדר גודל גדול מ-f כך ש-
מתכנס.
בנייה: נגדיר, לכן
ולכן
קיים ושווה ל-L. אם נגדיר
אז g מסדר גודל כמו של f וזה לא עוזר, לכן יש להגדיר
אז
וכיוון שהאינטגרל של f מתכנס,
. נגדיר
. חילקנו את f בפונקציה ששואפת ל-0 באינסוף, ולכן g מסדר גודל יותר גדול מ-f. יתר על כן
-
, כלומר האינטגרל מתבדר לחלוטין.
- נתבונן באינטגרל
- מתכנס או מתבדר? נוכיח שמתכנס בעזרת משפט לייבניץ על טורים. נבחר N טבעי ונבטא את האינטגרל החלקי (כאשר
):
. נסמן
. טענה: המספרים
מקיימים
(ולכן הטור שמתפתח הוא טור לייבניץ).
- אם k אי-זוגי אז
בקטע
ואם k זוגי אז
בקטע. לכן הטענה הראשונה מתקיימת.
- לכל k טבעי
כי
בעלת סימן קבוע ב-
. נציב
על מנת לקבל
ומכיוון ש-
זה שווה ל-
ואילו
, ומכיוון ש-
הטענה השנייה מתקיימת.
. ואכן
. לסיכום
וה-
יוצרים טור לייבניץ. ע"פ משפט ליבניץ הטור
מתכנס, נאמר ל-L. טענה:
. הוכחה: יהי
נתון. לפי הנתון קיים
כך שלכל
מתקיים
. כמו כן
ולכן קיים
כך שלכל
מתקיים
. אם
אזי
משפט 1
נניח שהפונקציות f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות בקטע ו-c מספר קבוע. אזי הפונקציה
אינטגרבילית ב-
ומתקיים
.
הוכחה
לפי הגדרה .
משפט 2
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב- ויהי
. אזי האינטגרל
מתכנס אם"ם
מתכנס, ואם כן
. ההוכחה פשוטה.
משפט 3
- תהי f מוגדרת ועולה בקטע
. אזי
קיים אם"ם
, ואם כן
.
- תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-
. עוד נניח ש-
בקטע זה, אזי
מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים
חסומים מלעיל.
הוכחות
- נניח
. טענה:
קיים ושווה ל-m. הוכחה: לפי אפיון החסם העליון, אם
אזי קיים
כך ש-
לכן עבור כל
מתקיים (מכיוון ש-f עולה)
. בפרט, לכל
מתקיים
ולכן
ואם
(לא חסום) אז לכל
קיים
כך ש-
. כעת, אם
אז
. נובע ש-
ואין גבול במובן הצר.
- לכל
נגדיר
. כיוון ש-
לכל
,
עולה עם R. האינטגרל הלא אמיתי מקיים
וראינו בסעיף 1 שהגבול של
קיים אם"ם
חסומה מלעיל, ז"א אם"ם
חסום מלעיל כאשר
.
מסקנה
מתוך ההוכחה ראינו שאם האינטגרל הלא אמיתי של פונקציה אינטגרבילית מקומית אי-שלילית מתבדר אז הוא מתכנס במובן הרחב ל-.