אינטגרל לא מסויים/דוגמאות

1

$\int \frac{1}{x} dx = ln|x|+c$

2

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}$

השלמה לריבוע והצבה ראשונה:

הדבר הראשון שנעשה הוא התהליך של השלמה לריבוע, שבסופו נקבל כי:

$x^{2}-4x-5=(x-2)^{2}-9$

ולכן ההצבה הראשונה שנעשה תהא: $u=x-2$, וכמובן קל להבין כי $dx=du$.

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}=\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-9}}$

פונקציות טריגונומטריות היפרבוליות (הערה):

ניעזר בתכונות של $sinh(x)$ ושל $cosh(x)$:

$(cosh(x))'=sinh(x)=\int cosh(x)dx$

וכן בזהות: $cosh^{2}(x)=sinh^{2}(x)+1$

הצבה שנייה:

נציב: $u=3cosh(t)\Rightarrow du=3sinh(t)dt$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}=\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-9}}=\int \frac{3sinh(t)dt}{\sqrt{9cosh^{2}(t)-9}}=\int \frac{3sinh(t)dt}{3sinh(t)}=\int dt=t+constant$

ולהחזיר את t לx, אני משאיר לכם (: