משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/24.5.11
מתוך Math-Wiki
תוכן עניינים
טורי חזקות (המשך)
משפט 2
יהי טור חזקות שרדיוס ההתכנסות שלו הוא R. אם קיים
במובן הרחב אז
.
הוכחה
יהי x כרצוננו ונוכיח שאם אז הטור מתכנס בהחלט, ואם
אז הוא מתבדר. נסמן את איברי הטור כ-
ולכן אם
אזי
ואם
אזי
. ממבחן המנה של דאלמבר נסיק שהטור מתכנס בהחלט אם
(ולכן
) ואינו מתכנס בהחלט אם
(ולכן
). מכאן ש-
.
דוגמאות
בתרגילים הבאים נמצא את רדיוס ההתכנסות R של הטור הנתון.
-
. אם קיים הגבול הבא אז הוא שווה לרדיוס ההתכנסות:
-
. דרך ראשונה: נעשה זאת לפי מבחן המנה:
, אבל קיבלנו תוצאה שגויה - זה לא רדיוס ההתכנסות כי חישבנו
במקום
. עם זאת, נשים לב שאם נציב
אז חישבנו את רדיוס ההתכנסות של
. מכאן שהטור מתכנס כאשר
, כלומר כאשר
, ולכן הוא
.
דרך שנייה: נחשב בעזרת מבחן השורש:
. גם כאן יש מכשול כי
ואילו
. לגבי האינדקסים האי-זוגיים
ולגבי הזוגיים
. לכן
ולפיכך
.
-
. לפי מבחן המנה:
.
מכאן שהטור מתכנס רק עבור
.
- דוגמה כללית של טור חזקות ניתנת ע"י טור טיילור. נניח ש-f מוגדרת וגזירה
פעמים בסביבת
. לכל
ניתן לכתוב
, ולכן
. אם עבור x מסויים
אזי
, וטור זה יקרא "טור טיילור של f סביב
". עבור
הטור יקרא "טור מקלורן של f", וכבר ראינו דוגמה לטור כזה:
, שרדיוס ההתכנסות שלו הוא
:
.
דוגמאות נוספות
- נקח
ו-
. נחשב טור טיילור (בפרט, טור מקלורן) ונקבל
, בתנאי ש-
. נוכיח שזה אכן מתקיים:
לכל
, כאשר c בין 0 ל-x. אבל ידוע ש-
ולכן
. עתה יהי
מסויים וניצור סדרה
כך ש-
. נותר להוכיח ש-
, ולכן מספיק להוכיח ש-
מתכנס. נעשה זאת באמצעות מבחן המנה של דאלמבר:
.
- נגדיר
ונוכיח ש-f גזירה
פעמים ב-
וש-
.
טענה 1: אםפונקציה רציונלית אזי
. הוכחה: קיים
כך ש-
עבור פולינום r שמקיים
. לפיכך, עבור
,
, ואחרי הפעלת כלל לופיטל
פעמים נקבל 0.
טענה 2: לכלולכל
מתקיים
עבור פונקציה רציונלית
כלשהי כך ש-
. הוכחה: נוכיח באינדוקציה. עבור
:
וכן
, ולפי טענה 1 זה שווה ל-0. עתה נוכיח עבור
:
. כמו כן
, ולפי טענה 1 זה שווה 0.
נובע מכך שטור מקלורן של f הוא
, שלא שווה ל-
לכל x מלבד 0.
משפט 3
יהי טור חזקות בעל רדיוס התכנסות
. אזי:
- בקטע
מוגדרת פונקציה גבולית רציפה
.
- בקטע זה הפונקציה הגבולית גזירה ומתקיים
. לטור הגזור יש אותו רדיוס התכנסות R.
- עבור
מתקיים
, וגם לטור הזה רדיוס התכנסות R.
הוכחה
- יהי
כרצונינו ונבחר r המקיים
. לפי משפט 1, סעיף 3, הטור מתכנס במ"ש ב-
. כמו כן, טור חזקות הוא סכום של פונקציות רציפות, ולכן f רציפה בקטע
ובפרט בנקודה x.
- הוכחנו בעבר כי ניתן לגזור טור איבר-איבר אם הוא מתכנס בנקודה אחת ואם הטור הגזור מתכנס במ"ש. התכנסות הטור נתונה בקטע
והטור הגזור הוא
, לכן צריך רק להוכיח שהטור הגזור מתכנס במ"ש. תחילה נקבע את רדיוס ההתכנסות שלו: נסמן ב-S את רדיוס ההתכנסות של הטור הגזור ולכן
, כלומר
. נובע (לפי סעיף 1) שהטור הגזור מתכנס במ"ש ב-
ולכן מתקיימים התנאים כדי להוכיח שהגזירה הנ"ל אכן היתה מוצדקת.
את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:
- נבחר x מסויים בקטע
ונסמן
. עפ"י משפט 1, סעיף 3, ידוע שהטור שלנו מתכנס במ"ש בקטע בין
ל-x ולכן (לפי משפט 9 בפרק הקודם) מותר לבצע אינטגרציה איבר-איבר בקטע זה. כעת
ולכן נותר למצוא רדיוס התכנסות. במילא נגזרת הטור החדש היא נאינטגרל המקורי, ולכן (מסעיף 2) יש להם אותו רדיוס התכנסות.