88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8
תוכן עניינים
העתקות לינאריות (ה"ל)
הגדרה: יהיו שני מ"ו מעל אותו שדה
. ה"ל היא פונקציה
אם
(או באופן שקול: אם לכל מתקיים
)
תכונות בסיסיות:
.1
.2
דוגמאות
1. יהיו שניהם מעל
. תהא
אזי העתקה
המוגדרת
היא ה"ל.
הוכחה: לכל מתקיים
2. שניהם מעל
. אזי העתקה
המגודרת
היא ה"ל.
הוכחה: לכל
3. שניהם מעל
. אזי העתקה
המגודרת
היא ה"ל.
הוכחה:
4. העתקת הזהות המוגדרת
היא ה"ל.
5. העתקת האפס המוגדרת
היא ה"ל.
6. יהי מ"ו מעל
מימד
ויהי
בסיס אזי הפונקציה
המוגדרת
היא ה"ל.
דוגמאות נגדיות
1. יהיו .
אזי העתקה
המוגדרת
אינה ה"ל.
כי למשל
שלא שווה ל
תרגיל
יהיו שתי ה"ל.
בסיס ל
. נניח
לכל
הוכח: . כלומר לכל
מתקיים
הוכחה: יהי אזי
כי
בסיס ובפרט פורשת.
ואז
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(v)=T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}) = \\ = \alpha_{1}S(v_{1})+\alpha_{2}S(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}S(v_{n})=S(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=S(v)
משפט ההגדרה
יהיו שני מ"ו מעל
. יהי
בסיס ל
ויהיו
וקטורים כלשהם.
אזי קימת ה"ל יחידה כך ש
לכל
מסקנה ניתן להגדיר ה"ל יחידה ע"י קביעה לאן ישלח בסיס ל V
דוגמאות
1.
מצא את הה"ל
המקימת
. כתוב את העתקה מפורשות, כלומר לאן
שולחת פולינום כללי
פתרון: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(a+bx+cx^{2})=aT(1)+bT(x)+cT(x^{2}) = \\ =a(x+2)+b(1)+c(-2x+1)=(2a+b+c)+(a-2c)x
הגדרות
תהא ה"ל.
- הגרעין של
מוגדר
- התמונה של
מוגדרת
- הדרגה של
מוגדרת
דוגמאות
1.
יהיו . תהא
ונסתכל על העתקה
המוגדרת
.
אזי
2.
יהי מ"ו מעל
מימד
ויהי
בסיס והעל הלינארית
המוגדרת
.
אזי
משפט
תהא ה"ל.
אזי חח"ע
מתקיים כי
תרגיל:
תהא ה"ל. ויהיו
וקטורים ב
אזי
- אם
בת"ל אז
בת"ל
- אם
חח"ע אז גם הכיוון ההפוך נכון. כלומר אם
בת"ל אז
הוכחה
- נניח
. נפעיל
על שני האגפים ונקבל מלינאריות של
כי
. כיוון שנתון ש
בת"ל נקבל כי
כנדרש.
- נניח כי
. מלינאריות נקבל כי
כיוון ש
חח"ע נקבל כי
. כיוון ש
בת"ל נקבל כי
כנדרש.
תרגיל
האם קימת
ה"ל חח"ע?
פתרון: נניח בשלילה כי חח"ע אזי כיוון ש
בתל גם
בת"ל אבל
שייכים למרחב וקטורי מימד 2 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 2.
תרגיל
האם קימת
ה"ל על?
פתרון: נניח בשלילה כי על אזי יש מקור ל
. נסמן את המקורות ב
כלומר
. כיוון ש
בת"ל גם
בת"ל אבל
שייכים למרחב וקטורי מימד 3 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 3.
תרגיל
תהא ה"ל. תהא
תת קבוצה. אזי
הוכחה:
() יהא
צ"ל באיברי
אזי
הוא איבר כללי.
כעת שזה צ"ל באיברי
ולכן שייך ל
() יהא צ"ל באיברי
אזי הוא מהצורה
כאשר
מלינאריות נקבל כי
מסקנה לכל תת מרחב מתקיים כי
תת מרחב.
תרגיל
יהיו והמישור
מצא ה"ל כך ש
וגם
פתרון
נשלים לבסיס ל V
בעזרת
לפי משפט ההגדרה מספיק להגדיר בעזרת הבסיס.
נגדיר
ואז
ולכן
בכיוון השני, יהיה אזי
ולכן
ואז
בנוסף, באופן דומה,
כנדרש.
משפט הדרגה
תהא ה"ל. אזי
הערה: שימו לב שזה הכללה עבור מטריצה ומשפט
(זיכרו שמטריצה היא מקרה פרטי של ה"ל)
.