תרגול 12 תשעז
תוכן עניינים
פונקציות
הגדרה: יהיו A,B קבוצות וR יחס בינהן. אזי:
- התחום של R הינו
- התמונה של R הינה
הערה: ישירות מהגדרה מתקיים כי
דוגמא:
אזי התחום הוא
והתמונה הינה
הגדרה:
- יחס R מ-A ל-B נקרא על אם
כלומר
- יחס R מ-A ל-B נקרא שלם אם
כלומר
- יחס R נקרא חד ערכי אם
כלומר אין איבר שנשלח ל-2 מקומות שונים
- יחס R נקרא חד-חד ערכי אם
כלומר איברים שונים נשלחים למקומות שונים (כלומר, היחס ההופכי הינו חד ערכי)
הגדרה:
יחס חד ערכי ושלם נקרא פונקציה; נסמן במקרה זה .
ובאופן כללי
.
(A נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה. ו B נקרא הטווח של הפונקציה)
נחזור על הגדרת חח"ע עבור פונקציה:
חח"ע אמ"מ
אמ"מ
הגדרה:
תהא A קבוצה. פונקציית הזהות היא פונקציה המקיימת
. נהוג לסמנה:
פונקציית הזהות היא חח"ע ועל.
למשל:
כאשר
( חח"ע ואינה על)
כאשר
( לא מוגדר כי
)
תרגיל
יהיו A ו-B קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכח שכל פונקציה מ-A ל-B הינה על אם"ם היא חח"ע
הוכחה:
נסמן . כאשר כל האיברים ב A שונים זה מזה וכנ"ל ל B
נניח חח"ע אזי
כיוון ש
ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן
על.
נניח על. נניח בשלילה ש
אינה חח"ע אזי
(כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום)
ואז
אינה על -סתירה.
הערה: הדבר אינו נכון אם A וB קבוצות אינסופיות. (מצאו דוגמא)
הרכבת פונקציות
הגדרה:
יהיו שתי פונקציות אזי ההרכבה של
על
היא פונקציה
המוגדרת על ידי הכלל
הערה: אם מתיחסים לפונקציות כאל יחסים - מקבלים את ההגדרה של הרכבת יחסים.
משפט:
- אם
חח"ע אזי f חח"ע.
- אם
על אזי g על.
פונקציות הפיכות
הערה: לכל פונקציה מתקיים
וגם
הגדרה: תהי פונקציה
. פונקציה
תיקרא הפונקציה ההופכית ל-
אם
וגם
. במקרה זה נסמן את
על ידי
, ונאמר שהפונקציה
היא הפיכה.
תרגיל.
הוכח כי f הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל.
הוכחה:
אם f הפיכה, אזי וגם
. מכיוון שהזהות הינה חח"ע ועל, נובע ש-f חח"ע ועל לפי המשפט הקודם.
אם f חח"ע ועל, אז נגדיר ע"י: עבור
קיים (כי f על) יחיד (כי f חח"ע)
כך ש
. נגדיר
. תרגיל: בדקו ש g ההופכית של f.