מד"ר - משוואות דיפרנציאליות רגילות - ארז שיינר
מתוך Math-Wiki
תוכן עניינים
הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה
- משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה.
- בחקירת פונקציות, במציאת תחומי עלייה וירידה, אנו פותרים את המשוואה
. האם זו משוואה דיפרנציאלית?
- לא, כיוון שבמשוואות דיפרנציאלית אנו מחפשים פונקציה שמקיימת את המשוואה לכל ערך של המשתנה.
- כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה.
נפילה חופשית
- גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה
.
- נסמן ב
את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ)
היא המהירות
היא התאוצה.
- לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה
, הרי התאוצה קבועה.
- לכן
- לכן
- כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה.
- נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן
ולכן
- נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן
ולכן גם
.
ריבית דריבית
- נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה
.
- נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי
.
- אבל מה היה קורה אילו הבנק היה משלם את הריבית פעם בחצי שנה?
- בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית
- ובחצי השנה השנייה נקבל מחצית מהריבית, אך סכום הקרן שלנו כבר גדל
- סה"כ
- בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית
- זה גדול יותר מהריבית השנתית, כיוון שצברנו ריבית על הקרן וגם על הריבית החצי שנתית.
- האם יש דרך להפוך את התהליך לרציף?
- כלומר, בהנתן שתי נקודות זמן קרובות אנו מעוניינים לקבל את הריבית היחסית על הזמן שעבר:
- נעביר אגף ונחלק
- אם נשאיף
נקבל כי
- כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית
כאשר
היא הריבית השנתית.
המשוואה ![y'=r\cdot y](/images/math/1/f/b/1fb26e2b70e99e1416c60408e52568c3.png)
- בהמשך הקורס נעסוק בשאלה האם למשוואה דיפרנציאלית יש פתרון, וכמה פתרונות יש למשוואה.
- מידי פעם נחזור ונפתור את המשוואה הזו בכלים שונים.
- כעת נשים לב כי:
- כיוון שהנגזרת שווה אפס הפונקציה קבועה
- סה"כ
- על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0.
- שימו לב שלכל תנאי התחלה קיבלנו פתרון יחיד.
סדר ומעלה
- משוואה דיפרנציאלית נקראת מסדר n אם הנגזרת הגבוהה ביותר היא מסדר n.
- המשוואה
היא משוואה מסדר שני.
- המשוואה
היא משוואה מסדר ראשון.
- המשוואה
- משוואה דיפרנציאלית נקראת ממעלה n אם הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר היא ממעלה n.
- המשוואה
היא מסדר 3 ומעלה 2.
- המשוואה
משוואות פרידות
- משוואה דיפרנציאלית נקראת פרידה אם היא מהצורה
.
- נהוג גם להחליף
ולכן המשוואה תרשם כך
.
- לבסוף, אם נזהר עם חלוקה באפס, משוואה פרידה באופן כללי יכולה להיות מהצורה
, כלומר
.
- משוואות פרידות אנו יכולים לפתור באמצעות אינטגרלים באופן הבא:
- ראשית נפריד (ומכאן השם) את המשתנים לשני צידי המשוואה:
- הקדומות של שני הצדדים שוות עד כדי קבוע.
- במקום t נשאר עם המשתנה y ובעצם אנו מחשבים אינטגרלים לשני הצדדים
, כל אחד לפי המשתנה שלו!
- לדוגמא נפתור את המשוואה
כמשוואה פרידה.
- ראשית נפריד את המשתנים ונקבל כי
.
- נשים לב כי הנחנו כאן כי
.
- כעת
.
.
- וביחד
.
- לכן
.
- לכן
.
- כעת, קל לראות מהצבה במשוואה כי y=0 גם פותר את המשוואה.
- בסה"כ הפתרון הכללי הוא (שוב)
.
- שימו לב - חלקנו למקרים בהם הפונקציה שונה מאפס או קבועה אפס, אך לא טיפלנו במקרים בהם הפונקציה מידי פעם שווה אפס.
- בתרגיל זה איננו צריכים, כי מצאנו את הפתרון הכללי בדרך פשוטה יותר למעלה.
- בהמשך, משפט הקיום והיחידות יעזור לנו להתמודד עם השאלה הזו, אך באופן כללי לא נעסוק הרבה במקרי קצה בקורס זה.
הפיכת משוואה לפרידה
- נביט במשוואה
שאינה משוואה פרידה.
- נדגים עכשיו טריק שיהפוך את המשוואה לפרידה.
- נגדיר את הפונקציה
.
- מתקיים כי
וביחד המשוואה המקורית מקבלת את הצורה
.
- זוהי משוואה פרידה
.
- נפעיל אינטגרל על שני הצדדים ונקבל כי
- ולכן
- ולכן
- שימו לב לדוגמא, כאן לא התייחסנו למקרה הקצה בו
מחוץ לתחום
.
- שיטה אחת לוודא שהפתרון שלנו אכן נכון היא להציב את התוצאה שקיבלנו ישירות במשוואה.
- על מנת לדעת אם לא פספסנו פתרונות אחרים, נעזר בהמשך במשפט הקיום והיחידות.
- אבל כאמור - אנחנו לא נתייחס באופן כזה לכל מקרה קצה בהמשך הקורס.
הרצאה 2 מד"ר הומוגנית, מד"ר לינאריות מסדר ראשון ומשוואת ברנולי
מד"ר הומוגנית
- פונקציה
נקראת הומוגנית מסדר k אם לכל
מתקיים כי
.
- לדוגמא
הומוגנית מסדר 1.
- טענה: פונקציה
היא מהצורה
לכל
אם"ם היא הומוגנית מסדר
לכל
.
- הוכחה:
- אם
אזי לכל
מתקיים
.
- אם
, נציב
ונקבל כי
.
- אם
- מד"ר הומוגנית (בניגוד למד"ר לינארית הומוגנית שנראה בהמשך) היא משוואה מהצורה
כאשר
הומוגנית מסדר
.
- נפתור מד"ר הומוגנית באמצעות ההצבה
באופן הבא:
- ראשית נסמן
.
- כעת נגזור את שני צידי המשוואה
, ונקבל כי
.
- לכן לאחר החלפת המשתנה קיבלנו משוואה פרידה
.
- נפריד את המשתנים
.
- ולכן
.
- נמצא את
ונציב בחזרה
.
- ראשית נסמן
- דוגמא - נפתור את המשוואה
- ולבסוף
- דוגמא - נפתור את המשוואה
מד"ר לינארית מסדר ראשון
- הגדרה: משוואה מסדר ראשון נקראת לינארית אם היא מהצורה
.
- מד"ר לינארית הומוגנית (בניגוד למד"ר הומוגנית שראינו לעיל) היא מהצורה
.
- נחשב נוסחא לפתרון מד"ר לינארית כללית ע"י מציאת פתרון למשוואה לינארית הומוגנית ובאמצעות שיטת וריאצית המקדמים.
- נשים לב כי המשוואה הלינארית ההומוגנית
היא פרידה.
- נפריד את המשתנים ונקבל
.
- נבצע אינטגרציה ונקבל כי
.
- ולכן
- כעת נשתמש בשיטת וריאצית המקדמים על מנת לפתור את המד"ר הלא הומוגנית.
- נציב במקום המקדם הקבוע
פונקציה
, וננחש שזה פתרון של המד"ר.
- כיוון שאנו מנחשים שזה פתרון של המד"ר, נציב אותו בתוך המשוואה ונמצא (בתקווה) פונקציה
כך שהמשוואה תתקיים.
- כלומר, נציב
במשוואה
.
- נקבל
- משוואה זו מתקיימת אם"ם
.
- כלומר
.
- לכן נבחר
- סה"כ הפתרון הכללי למד"ר הלינארית
הוא:
- דוגמא - המשוואה החביבה עלינו
:
- ראשית, נשים לב כי
ו
.
- כלומר זו מד"ר לינארית הומוגנית, והפתרון הכללי הוא
- ראשית, נשים לב כי
נפילה חופשית כולל התנגדות אוויר
- גוף בעל מסה
נמצא בנפילה חופשית, מצד אחד הוא מושפע מכוח הכבידה שנחשב קבוע
ומצד שני מכוח התנגדות האוויר.
- במהירויות גבוהות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה בריבוע
, ובמהירויות נמוכות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה
.
במהירות גבוהה
- לפי החוק השני של ניוטון
.
- כלומר
- נבצע הפרדת משתנים
- נבצע פירוק לשברים חלקיים:
- ולכן
- מצד שני
- לכן
- נסדר קצת
- נשים לב שכאשר
אנו מתכנסים למהירות הסופית
.
- אם זו הייתה המהירות ההתחלתית היינו מקבלים פונקצית מהירות קבועה.
במהירות נמוכה
- לפי החוק השני של ניוטון
.
- כלומר קיבלנו את המד"ר הלינארית
.
- ולכן הפתרון הוא
.
- וכאשר
המהירות שואפת למהירות הסופית
.
משוואת ברנולי
- משוואת ברנולי היא משוואה מהצורה
עבור
.
- נפתור את המשוואה על ידי הצבה שתהפוך אותה למשוואה לינארית, אותה כבר למדנו לפתור.
- נניח כי
, ונחלק ב
.
- נקבל את המשוואה
.
- נציב
.
- נגזור
.
- נקבל משוואה לינארית
.
- נפתור עבור
ונציב חזרה לקבל
.
- דוגמא - נפתור את המשוואה
.
- נציב
.
- נקבל
ולכן
.
- לכן
- לכן
- לכן
- ולבסוף
- נציב
- דוגמא - גוף בתנועה עם כוח גרר לא לינארי ביחס למהירות
- נתון גוף הנע חצי באוויר וחצי בתוך נוזל כלשהו. נניח כי החיכוך עם הנוזל פרופורציונלי למהירות, והחיכוך עם האוויר פרופורציונלי למהירות בריבוע.
ולכן
(לצורך הפשטות הכנסנו את המסה לתוך הקבועים).
- זוהי משוואת ברנולי, נציב
.
- לכן
- נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית:
- ולכן
- כמובן שכאשר
המהירות מתכנסת מהר מאד לאפס.
הרצאה 3 משוואות מדוייקות ומשפט הקיום והיחידות
הקדמה - פונקציות בשני משתנים
- נגזרות חלקיות
- דוגמא עבור
מתקיים
ו
- דוגמא עבור
- עבור פונקציות דיפרנציאביליות (כמו הפונקציות האלמנטריות), מתקיים כי
(כלומר סדר הנגזרות לא משנה).
- כלל השרשרת: אם
אזי
- בפרט, עבור
מתקיים
מד"ר מדוייקת
- מד"ר מסדר ראשון נקראת מדוייקת אם היא מהצורה
, עבור
דיפרנציאבילית.
- פתרון המד"ר ניתן בצורה סתומה על ידי המשוואה
, כאשר C קבוע כלשהו.
- מד"ר מהצורה
היא מדוייקת אם"ם
ו
בעלות נגזרות רציפות.
- הוכחה לפתרון המד"ר המדויקת:
- נגזור את הפונקציה
לפי המשתנה
באמצעות כלל השרשרת ונקבל כי
- לפי הנתון
נובע כי
ולכן
פונקציה קבועה.
- נגזור את הפונקציה
- הוכחה לתנאי השקול למד"ר מדויקת:
- כיוון ראשון, נניח
מדוייקת.
- לכן קיימת
דיפרנציאבילית כך ש
.
- לכן
.
- לכן קיימת
- כיוון שני, נניח כי
.
- אנו מחפשים
עבורה
.
- נעשה אינטגרציה לפי
ונקבל כי
.
- לכן ברור כי
, השאלה היא אם ניתן לבחור
עבורו
.
- כלומר אנו רוצים
- משוואה זו תהיה פתירה, אם הצד הימני הוא פונקציה שאינה תלוייה בx.
- אכן
.
- אנו מחפשים
- כיוון ראשון, נניח
- דוגמא: נפתור את המשוואה
.
- ראשית נוודא שמדובר במשוואה מדוייקת:
.
- נבצע אינטגרציה
.
- נגזור לפי y ונקבל כי
.
- לכן
.
- לכן
וסה"כ
.
- לכן הפתרון למד"ר הוא
.
- ראשית נוודא שמדובר במשוואה מדוייקת:
גורם אינטגרציה
- לעיתים המד"ר אינה מדוייקת, אך ניתן לכפול אותה בפונקציה (שנקרא לה גורם אינטגרציה) וכך נהפוך אותה למדוייקת.
- באופן כללי אנו לא יודעים למצוא את גורם האינטגרציה, אבל נביט במקרה בו קיים גורם אינטגרציה שתלוי בx בלבד.
- תהי מד"ר
, ונניח שקיים לה גורם אינטגרציה
התלוי בx בלבד.
- כלומר
מדוייקת.
- לכן
.
- כלומר
.
- לכן
.
- ניתן לפתור משוואה זו אם הצד הימני תלוי בx בלבד, כיוון שהצד השמאלי תלוי בx בלבד.
- במקרה זה, פתרון יהיה
- דוגמא - המשוואה
.
- המשוואה הינה
.
- מתקיים כי
תלוי בx בלבד.
- לכן יש גורם אינטגרציה
- נכפול את המשוואה בגורם האינטגרציה.
.
- כעת
.
.
- לכן
ואפשר לבחור
.
- סה"כ
.
- (כך פתרנו למעשה את משוואה זו בשיעור הראשון.)
- המשוואה הינה
- דוגמא - המשוואה
.
.
- אכן המשוואה
מדוייקת.
- נבדוק:
.
- נבדוק:
- נפתור את המד"ר:
.
.
.
.
- סה"כ הפתרון למד"ר הוא
.
משפט הקיום והיחידות
בעיית קושי
- מציאת פתרון למד"ר
המקיימת
שיטת פיקרד
- נראה את שיטת פיקרד, באמצעותה נוכיח את משפט הקיום והיחידות.
- נגדיר
, ולכל
נגדיר
.
- מאוחר יותר נוכיח כי סדרת הפונקציות מתכנסת לפתרון של המד"ר.
- דוגמא - נביט במשוואה (המאד מקורית)
.
- נמשיך כך, ונקבל סדרת פונקציות המתכנסת ל
- אם נתון תנאי ההתחלה
נקבל בדיוק את הפתרון
.
ניסוח משפט הקיום והיחידות
- תהי
רציפה ובעלת נגזרת
במלבן הסגור
.
- נביט בבעיית הקושי
, עם תנאי ההתחלה
- נבחר
חסם כך ש
במלבן הנתון, ונסמן
.
- אזי קיים פתרון יחיד
לבעיית הקושי בתחום
.
- הערות:
- שימו לב שהמשפט מבטיח פתרון בתחום מצומצם.
- אכן ראינו מד"ר שהייתה מוגדרת ורציפה בכל הממשיים, אך לא היה פתרון שמוגדר בכל הממשיים.
- לכל נקודה יש פתרון מסביבה, גם אם אין פתרון שמוגדר בכל מקום.
- שימו לב שאם מצאנו פתרון בצורה כלשהי, אנחנו יודעים שהוא יחיד בזכות המשפט (לפחות בסביבה מסויימת).
- מצד שני, אם הפתרון הכללי שמצאנו לא מקיים את תנאי ההתחלה, סימן שאנחנו צריכים לחפש פתרון שפספסנו.