אנליזת פורייה - ארז שיינר

מתוך Math-Wiki

מבחנים לדוגמא

תקציר ההרצאות

הקדמה

גלים

  • מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית.
  • לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות:
    • תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור)
    • אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום)
    • פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
  • אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.


  • מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
  • למדנו במד"ר על המשוואה [math]\displaystyle{ y''=-k^2y }[/math] שהפתרון הכללי שלה הוא [math]\displaystyle{ y=a\sin(kt)+b\cos(kt) }[/math].
  • הקבוע [math]\displaystyle{ k }[/math] קובע את התדר של כל גל.
  • הקבועים [math]\displaystyle{ a,b }[/math] קובעים את האמפליטודה של כל גל.
  • מה לגבי הפאזה?
    • בפונקציה [math]\displaystyle{ a\sin(kt+t_0) }[/math], הקבוע [math]\displaystyle{ t_0 }[/math] קובע את הפאזה.
    • ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה:
      • [math]\displaystyle{ a\sin(kt+t_0)=(a\sin(t_0))cos(kt)+(a\cos(t_0))sin(kt) }[/math]


  • האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי [math]\displaystyle{ a\sin(kt)+b\cos(kt) }[/math] ניתן להציג כגל יחיד?
  • תשובה: כן.
  • הוכחה:
    • נסמן [math]\displaystyle{ z=a+bi=rcis(\theta) }[/math]
    • כלומר [math]\displaystyle{ a\sin(kt)+b\cos(kt)=r\sin(\theta)sin(kt)+r\cos(\theta)cos(kt)=rcos(kt-\theta) }[/math]
  • שימו לב:
    • סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש.
    • הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים.
    • לגל החדש יש פאזה שאינה אפס.
    • האפליטודה של הגל החדש היא [math]\displaystyle{ r=\sqrt{a^2+b^2} }[/math].

טורי פורייה