משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.3.11
מתוך Math-Wiki
יישומים של אינטגרציה (המשך)
- שטח הפנים של גוף סיבוב (ללא הבסיסים): נחלק את הקטע
לתתי קטעים
עבור כמה k-ים. שטח הפנים הוא
(כאשר r רדיוס הבסיס הגדול יותר של הקונוס הנוצר בקטע=
וכן
. לפי זה שטח המעטפת כולו מקורב ע"י הסכום
. כאשר
ביטוי זה שואף לאינטגרל
והוא שטח המעטפת לגוף הסיבוב הנוצר ע"י סיבוב
בין a ל-b סביב ציר ה-x.
דוגמה
נחשב את שטח המעטפת (=שטח הפנים) של כדור בעל רדיוס r: מתקיים. השטח הוא
נשים לב כי שטח עיגול הוא
והיקפו
כמו כן נפח כדור הוא
ושטחו
. הסבר גרף 1. מכאן שתוספת השטח
בערך שווה ל-
, ז"א
. בגבול
זה מדויק:
. לעומת זאת, עבור ריבוע גרף 2 ההיקף הוא
והשטח -
- ההיקף אינו נגזרת השטח. אבל גרף 3 היקף:
, שטח:
ושוב ההיקף הוא נגזרת השטח.
נחשב שטח פנים של כדור ללא אינטגרל: גרף 4 עפ"י שיוויון משולשיםולכן
אותה חתיכת הגרף 'S' מסתובבת ליצור שטח
. ז"א בכל מקום שנבנה שטח ע"י סיבוב קטע באורך
יווצר שטח באורך
. כעת אם נסכם על כל הקטעים לאורך הקטע
נבנה שטח כולל
, כפי שציפינו.
- בפיזיקה, כאשר כוח
קבוע פועל בקטע באורך s אומרים שהוא עשה עבודה
.כעת נחשב את העבודה שנעשית ע"י כוח משתנה
לאורך הקטע
בציר הזמן. נעשה חלוקה
. בכל תת קטע
,
תקבל מקסימום
ומינימום
ולכן העבודה הנעשית ע"י F בקטע
(נקרא לה
) מקיימת
. בסה"כ העבודה לאורך הקטע היא
כאשר
. יש כאן
וכאשר
זה שואף לגבול אחד
.
- החוק השני של ניוטון אומר
ואם מדובר בחלקיק או אדם שהולך בקו ישר (על ציר ה-x) אז התנועה שלו מתוארת ע"י הפונקציה
(לכל t נקודה בזמן). לפיכך מהירותו היא
ותאוצתו
. לפי ניוטון
. לפי כלל השרשרת אפשר לכתוב
ולכן
. לכן העבודה שנעשית ע"י
בין a ל-b היא
ז"א העבודה שווה לשינוי באינרגיה הקינטית.הסבר לנוסחה:
. כאן מניחים ש-
ו-
. בזה נוצרת פונקציה מרוכבת
. למדנו את כלל השרשרת
כלומר
.
מבוא לאינטגרציה נומרית
נביא כאן 4 שיטות לקירוב של אינטגרל מסוים:
- אינטגרציה בעזרת פיתוח טיילור. לדוגמה, נחשב
בדיוק של
: כבר למדנו פיתוח טיילור לפונקציה
:
כאשר
לאיזה c בין 0 ל-t. נציב
:
. לכן
. אנו זקוקים ל-n כך ש-
. לכל
מתקיים
ולכן השארית חסומה ע"י
. אכן, עבור
זה מספיק קטן. לפי זה
השיטה הזאת לא תמיד מועילה כי- לא כל פונקציה גזירה אינסוף פעמים כדי שנוכל לחשב
ל-n כלשהו.
- יש פונקציות בעלות אינסוף נגזרות שפשוט לא מקורבות היטב ע"י פיתוח טיילור, ובפרט על קטע ארוך.
- יש פונקציות שקשה לחשב את פיתוח טיילור שלהן כי הוא תלוי בנגזרת מסדר גבוה.
- לא כל פונקציה גזירה אינסוף פעמים כדי שנוכל לחשב
- קירוב ע"פ סכומי רימן. נניח ש-f רציפה בקטע
. נקח
כלשהו ונעשה חלוקה שווה של
:
כאשר לכל k נגדיר
(כאשר h הוא אורך הפסיעה בין שתי נקודות החלוקה). הקירוב לאינטגרל נתון ע"י סכום רימן
. כעת נניח ש-f בעלת נגזרת רציפה
ב-
ונחשב את סדר גודל הטעות בקירוב הנ"ל:
. בתוך הקטע הקטן
נסתמך על משפט לגראנז' לומר
עבור c בין x ל-
. נעביר אגף לומר
ולכן
.
היא התרומה של קטע זה לסכום רימן. האינטגרל
= הטעות. כעת, אם נסמן
נוכל להסיק