משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.5.11
תוכן עניינים
התכנסות במידה שווה (המשך)
הערה
אם במ"ש על I אז לכל
ברור שמתקיים
, כלומר התכנסות במ"ש גוררת התכנסות נקודתית. ההיפך אינו נכון.
משפט 1
יהיו קבוצת הפונקציות והפונקציה f מוגדרות בקטע I. אז התנאים הבאים שקולים:
-
במ"ש ב-I
-
הוכחה
ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני: אם נגדיר לכל n את אז יש להוכיח כי
. אבל אם
ידוע כי קיים
כך שלכל
מתקיים
לכל
. נובע מיד שאם
אז
ולכן
והוכחנו
, כדרוש.
לצד השני יהי נתון. ידוע כי קיים
כך שלכל
מתקיים
ולכן לכל
,
לכל
.
דוגמה
בקטע ברור כי
. טענה: הגבול נקודתי ולא במ"ש. הוכחה:
.
נעיר כי בקטע
עבור
דווקא יש התכנסות במ"ש. הוכחה:
ולכן
, כדרוש.
משפט 2
נניח ש- במ"ש ב-I. עוד נניח שעבור איזה
כל
רציפה ב-
. אזי גם f רציפה ב-
.
הוכחה
יהי נתון.
במ"ש ב-I קיים n טבעי מסויים כך שלכל
מתקיים
. כעת נתון ש-
רציפה ב-
ולכן קיים
כך שאם
אז
נובע שאם
אז עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \varepslon לא מוכרת): |f(x)-f(x_0)|\le|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-f(x_0)|<\varepslon/3+\varepslon/3+\varepslon/3=\varepsilon
.
מסקנה
בתנאים של משפט 2, אם כל רציפה בקטע I כולו, אז גם f רציפה ב-I כולו.
דוגמה
בקטע ברור כי
. כאן כל
רציפה ב-
ואילו הפונקציה הגבולית לא רציפה. זה אינו סותר את משפט 2 כי כבר ראינו שההתכנסות אינה במ"ש.
משפט 3
נניח שלכל n מוגדרת ואינטגרבילית ב-
ונניח שקיים
במ"ש ב-I. אזי f אינטגרבילית ב-I ומתקיים
.
הוכחה
לא נוכיח שבתנאים הללו f אינטגרבילית (בד"כ זה יתקיים אוטומטית אם כל ה- רציפות למקוטעין). נוכיח רק ש-
. שקול להוכיח ש-
. ובכן יהי
נתון. כיוון ש-
במ"ש על I
. נובע שלכל
. מכאן נובע ש-
.
דוגמה
גרף (0,0), (1/n,n), (2/n,0), (...,0)
טענה: לעל אז
. הוכחה: עבור
לכל n
ולכן
. אם
אז קיים
כך ש-
עבור כל
מתקיים
ולכן
לכל
ונובע ש-
. בזה הוכחנו את הטענה ש-
נקודתית ב-
. נעיר שההתכנסות מאוד לא במ"ש כי עבור n כלשהו
.
טענה: (כאשר
היא הפונקציה הגבולית).
הוכחה: לכל n השטח מתחת לגרף = = 1 =
שלא שואף ל-0.
השערה סבירה אבל מאוד לא נכונה: אם במ"ש ב-I אז
ב-I.
דוגמה נגדית: טענה:
במ"ש בכל
. הוכחה: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\sin\left(n^2x\right)}n-0\right|=\sup_{x\in\mathbb R}\left{|\sin\left(n^2x\right)|}n=\frac1n\to0
. טענה:
. הוכחה: לכל n ולכל
מתקיים
ועבור
כלשהו
שאינו קיים.
משפט 4
תהי סדרת פונקציות בעלות נגזרת רציפה
בקטע
. הסדרה
מתכנסת בנקודה אחת (לפחות)
והסדרה
מתכנסת במ"ש ל-g ב-
. אזי
קיים לכל
ומגדיר פונקציה גבולית f שהיא גזירה ב-
. יתר על כן
.
הוכחה
נקח כלשהי. לכל n הפונקציה
רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר
. נעביר אגף:
. כעת נתון שקיים
. נקרא לו
. יתר על כן נתון ש-
במ"ש ב-
וכל שכן
במ"ש בתת הקטע בין
ל-x. נסיק ממשפט 3 ש-
נובע שלכל
קיים
והוכחנו את קיום הפונקציה הגבולית f. נותר להוכיח שהיא גזירה וש-
לפי הנתון כל
רציפה ו-
במ"ש על
. לכן משפט 2 נותן ש-
רציפה ב-
וכיוון שלכל
מתקיים
. החלק הראשון של המשפט היסודי נותן
לכל
.