משתמש:אור שחף/133 - תרגול/22.5.11

מתוך Math-Wiki
הגרסה להדפסה אינה נתמכת עוד וייתכן שיש בה שגיאות תיצוג. נא לעדכן את הסימניות בדפדפן שלך ולהשתמש בפעולת ההדפסה הרגילה של הדפדפן במקום זה.

התכנסות במ"ש (המשך)

משפט דיני

אם [math]\displaystyle{ f_n }[/math] סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ומתכנסת נקודתית בקטע זה לפונקציה רציפה f. בנוסף [math]\displaystyle{ f_n }[/math] סדרה עולה לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f_n }[/math] מתכנסת במ"ש ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

דוגמה 1

בדוק הכנסות עבור הסדרה [math]\displaystyle{ f_n(x)=\sqrt[n]{\sin(x)} }[/math] בקטע

  1. [math]\displaystyle{ \left[\frac\pi4,\frac34\pi\right] }[/math]

פתרון

נישם לב שעבור x בקטע [math]\displaystyle{ \sin(x)\gt 0 }[/math]. קל לראות גם שפונקצית הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin(x)}=1 }[/math]. ברור כי [math]\displaystyle{ f_n }[/math] רציפות ובקטע מתקיים [math]\displaystyle{ \sqrt[n+1]{\sin(x)}\ge\sqrt[n]{\sin(x)} }[/math]. ברור כי פונקציה הגבול רציפה ולכן מתקיימים תנאי משפט דיני, מכאן שההתכנסות במ"ש. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

  1. [math]\displaystyle{ (0,\pi) }[/math]

פתרון

נשים לב שנתון קטע פתוח, לכן לא ניתן להשתמש בתנאי דיני. ברור לנו שפונקצית הגבול [math]\displaystyle{ f(x)=1 }[/math] ומכיוון ש-[math]\displaystyle{ \sup_{x\in(0,\pi)}\left|1-\sqrt[n]{\sin(x)}\right|=1\ne0 }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה 2

קבעו אם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x^{2n} }[/math] מתכנס ב-[math]\displaystyle{ \left[-\frac34,\frac34\right] }[/math].

פתרון

נשתמש בטור הנדסי, נרשום [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x^{2n}=\sum_{n=1}^\infty \left(x^2\right)^n=\frac{x^2}{1-x^2} }[/math] ולכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). מסקנה: לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה 3 משיעור קודם

הוכח או הפרך: אם [math]\displaystyle{ f_n:[a,b]\to[c,d] }[/math] סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקצית הגבול f וכן [math]\displaystyle{ g:[c,d]\to\mathbb R }[/math] פונקציה רציפה אז [math]\displaystyle{ g\circ f_n }[/math] היא סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול [math]\displaystyle{ g\circ f }[/math].

פתרון

נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] יש [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ |y_1-y_2|\lt \delta }[/math] אז [math]\displaystyle{ |g(y_1)-g(y_2)|\lt \varepsilon }[/math]. בנוסף נתון ש-[math]\displaystyle{ f_n }[/math] מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f_n(x)-f(x)|\lt \delta }[/math] (בפרט אפשר לבחור [math]\displaystyle{ \varepsilon=\delta }[/math]. נשים לב ש-[math]\displaystyle{ g\circ f_n }[/math] מוגדרת היטב ושם לכל [math]\displaystyle{ a\le x\le b }[/math] ובפרט עבור [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |g(f_n(x))-g(f(x))|\lt \varepsilon }[/math].

מבחן ה-M של ווירשטראס

יהי [math]\displaystyle{ \sum f_n(x) }[/math] טור פונקציות בקטע I. אם קיים טור מתכנסשל מספרים חיוביים [math]\displaystyle{ \sum a_n\lt M }[/math] כך שלכל n גדול מספיק ולכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f_n(x)|\le a_n }[/math] אז [math]\displaystyle{ \sum f_n(x) }[/math] מתכנס במ"ש ב-I.

דוגמה 4

הוכח כי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n }[/math] מתכנס במ"ש ב-[math]\displaystyle{ [0,1] }[/math].

פתרון

נרשום את הטור כ-[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty (x(1-x))^n }[/math] נסמן [math]\displaystyle{ f(x)=x(1-x) }[/math] ונחסום אותה: [math]\displaystyle{ f(x)=x-x^2\implies f'(x)=1-2x }[/math] ו-[math]\displaystyle{ f'(x)=0\iff x=\frac12 }[/math], שהיא מקסימום כי [math]\displaystyle{ f''(1/2)=1-2=-1\lt 0 }[/math]. נותר לבדוק את קצוות הקטע: [math]\displaystyle{ x\in[0,1]\implies0\le x(1-x)\le\frac14\implies f_n(x)=(x(1-x))^n\le\left(\frac14\right)^n }[/math]. לפי מבחן ה-M של ווירשטרס [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac1{4^n} }[/math] מתכנס (כי זהו טור הנדסי) ולכן מקבילים כי הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n }[/math] מתכנס במ"ש.

אינטגרציה איבר-איבר בסדרות

אם [math]\displaystyle{ f_n }[/math] סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש. לפונקציות f בקטע I אז f אינטגרבילית בקטע ומתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b\lim_{n\to\infty}f_n=\int\limits_a^b f }[/math]

דוגמה 5

קבע האם [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n }[/math] מתכנס כאשר [math]\displaystyle{ 0\le x\le1 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ f_n(x)=nxe^{-nx^2} }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ y=x^2 }[/math] ואז [math]\displaystyle{ \int\limits_0^1 f_n=\frac12\int\limits_0^1ne^{-ny}\mathrm dy=\frac12\left[\frac{ne^{-ny}}{-n}\right]_{y=0}^1=-\frac12e^{-n}+\frac12\to\frac12 }[/math] עבור צד ימין [math]\displaystyle{ f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{nx2}}=0 }[/math] (השיוויון האחרון לפי לופיטל) ולכן ברור כי [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 n\lt math\gt xe^{-nx^2}\mathrm dx }[/math]</math> ז"א אכן לא מתקיים שיוויון.


נראה ש-[math]\displaystyle{ f_n }[/math] לא מתכנסת במ"ש.

=פתרון

ברור כי פונקצית הגבול היא 0. נשתש במבחן ה-M (כי כל גישה אחרת דורשת חלוקה לקטעים). נחפש מקסימום ל-[math]\displaystyle{ f_n(x) }[/math]: [math]\displaystyle{ f_n'(x)=-2n^2x^2e^{-n^2x^2}+ne^{-nx^2}=ne^{-n^2x^2}(-2x^2n+1)=0 }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ x=\frac1\sqrt{2n} }[/math]. מתקיים [math]\displaystyle{ \sup|\frac n\sqrt{2n}e^{-\frac n{4n}}-0|\not\to0 }[/math].