משפט ההגדרה

משפט ההגדרה

יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי [math]\displaystyle{ B=\{v_1,...,v_n\} }[/math] בסיס ל-V. יהי W מ"ו נוצר סופית ויהיו [math]\displaystyle{ w_1,...,w_n }[/math] וקטורים כלשהם (לא בהכרח שונים)

אזי קיימת העתקה לינארית יחידה [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow W }[/math] המקיימת:

[math]\displaystyle{ Tv_1=w_1 }[/math]

[math]\displaystyle{ Tv_2=w_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]

[math]\displaystyle{ Tv_n=w_n }[/math]

הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס B

[math]\displaystyle{ v=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math].

לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה T על ידי

[math]\displaystyle{ Tv=a_1w_1+...+a_nw_n }[/math].

קל מאד להראות כי T המוגדרת לעיל הינה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר [math]\displaystyle{ Tv_i=w_i }[/math]).

נותר להוכיח כי T יחידה. אמנם, אם S העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר [math]\displaystyle{ Sv_i=w_i }[/math]), מתקיים:

[math]\displaystyle{ \forall v\in V:Sv=S(a_1v_1+...+a_nv_n)=a_1Sv_1+...+a_nSv_n=a_1w_1+...+a_nw_n=Tv }[/math]

ולכן S=T.