88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 5

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־10:57, 16 ביולי 2012 מאת Nabb6 (שיחה | תרומות) (←‏א.)
(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
הגרסה להדפסה אינה נתמכת עוד וייתכן שיש בה שגיאות תיצוג. נא לעדכן את הסימניות בדפדפן שלך ולהשתמש בפעולת ההדפסה הרגילה של הדפדפן במקום זה.

1.

קבע תחום התכנסות ותחום התכנסות במ"ש של הפונקציות הבאות

א.

[math]\displaystyle{ f_n(x)=\frac{x}{n}ln\Big(\frac{x}{n}\Big) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\in(0,1) }[/math]

ב.

[math]\displaystyle{ f_n(x)=\frac{1}{n}sin\Big(e^nx\Big) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\in(-\infty,\infty) }[/math]

ג.

[math]\displaystyle{ f_n(x)=nsin\Big(\frac{x}{n}\Big) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\in(-\infty,\infty) }[/math]

ד.

[math]\displaystyle{ f_n(x)=x\cdot arctan(nx) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\in(0,\infty) }[/math]

2.

(ממבחן)

תהי סדרת פונקציות [math]\displaystyle{ f_n:[0,1]\rightarrow\mathbb{R} }[/math]. נתון כי [math]\displaystyle{ f_n\rightrightarrows f }[/math] (במ"ש) בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] וכי f חסומה בקטע. הוכיחו כי:

[math]\displaystyle{ \sup_{[0,1]}f_n(x)\rightarrow \sup_{[0,1]}f(x) }[/math]

3.

(ממבחן)

תהי [math]\displaystyle{ f_n }[/math] סדרת פונקציות המוגדרת בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] על ידי הנוסחא הרקורסיבית [math]\displaystyle{ f_{n+1}(x)=\sqrt{xf_n(x)} }[/math] ותנאי ההתחלה [math]\displaystyle{ f_1(x)\equiv 1 }[/math]. הראו כי בקטע סדרת הפונקציות מתכנסת לפונקצית הגבול [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math]

אם למדתם את משפט דיני, הוכיחו כי התכנסות זו הינה במ"ש

4.

מצאו תחומי התכנסות והתכנסות במ"ש של הטורים הבאים:

א.

[math]\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty ln\Big(1+\frac{x^2}{nln^2n}\Big) }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ (-a,a) }[/math]

ב.

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^2}{e^{nx}} }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math]

ג.

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{x}{(1+x^2)^n} }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math]

ד.

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty 3^nsin\frac{1}{4^nx} }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math]