משתמש:איתמר שטיין

• הסבר על חישוב הופכי ב $\mathbb{Z}_p$

נזכור כי דרגת העמודות של מטריצה $A$ היא מימד מרחב העמודות (המרחב הנפרש על ידי עמודות $A$).

ודרגת השורות של מטריצה $A$ היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות $A$).

הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה:

תהי $A \in \mathbb{F}^{m\times n}$ מטריצה כלשהיא ונניח שדרגת העמודות שלה היא $k$.

כלומר $dim{C(A)}=k$.

יהיה $B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m$ בסיס עבור $C(A)$.

נסמן ב $D$ את המטריצה שעמודותיה הם איברי $B$.

כלומר

$D=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix}\in \mathbb{F}^{m\times k}$

נשים לב שבגלל ש $B$ בסיס ל $C(A)$ הוא פורש כל עמודה של $A$.

כלומר לכל עמודה $C_i(A)$ מתקיים ש $C_i(A)\in span\{b_1,\ldots, b_k\}$.

נסמן $[C_i(A)]_B=\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}$

כלומר $C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{k,i}b_k$

כלומר $(\ast) \quad C_i(A)=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} = D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}$

נגדיר מטריצה $R \in \mathbb{F}^{}$