משתמש:איתמר שטיין
הוכחה לטענה ש הפיכה
ניתן להציג את
כמכפלת מטריצות אלמנטריות.
שלב א':
כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה ומתקיים
שלב ב': הוכחת .
אם היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות אז היא מכפלה של מטריצות הפיכות ולכן הפיכה.
שלב ג': מטריצה בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה.
כי לכל מטריצה
שהיא (נניח ש
היא שורת האפסים)
מתקיים לפי כפל שורה שורה .
שלב ד': נתחיל להוכיח את .
אם הפיכה, הצורה המדורגת קנונית שלה היא
.
הסבר: נסמן את הצורה המדורגת קנונית של ב
.
קיימות מטריצות אלמנטריות כך ש
.
הפיכה כי היא מכפלה של מטריצות הפיכות.
אבל לצורה מדורגת של מטריצה ריבועית יש רק 2 אפשרויות. או שהיא או שיש בה שורת אפסים.
לכן . (מטריצה בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה).
שלב ה: סיום
נותר רק לכפול משמאל את
.
ב .
ולקבל
היות והופכי של מטריצה אלמנטרית הוא גם מטריצה אלמנטרית.
קיבלנו ש היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות.--איתמר שטיין 20:44, 27 באוגוסט 2012 (IDT)