משתמש:איתמר שטיין

• הסבר על חישוב הופכי ב $\mathbb{Z}_p$

הוכחה לטענה ש $A$ הפיכה $\Leftrightarrow$ ניתן להציג את $A$ כמכפלת מטריצות אלמנטריות.

שלב א':

כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה ומתקיים

$(\rho_{i,j})^{-1} = \rho_{i,j}$

$(\rho_{k\cdot i})^{-1} = \rho_{{\frac{1}{k}}\cdot i}$

$(\rho_{i+k\cdot j})^{-1} = \rho_{i-k\cdot j}$

שלב ב': הוכחת $\Rightarrow$.

אם $A$ היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות אז היא מכפלה של מטריצות הפיכות ולכן הפיכה.

שלב ג': מטריצה $C$ בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה. כי לכל מטריצה $B$ שהיא (נניח ש $i$ היא שורת האפסים)

מתקיים לפי כפל שורה שורה $R_i(AB)=R_i(A)B=0 \neq R_i(I)$.

שלב ד': נתחיל להוכיח את $\Leftarrow$.

אם $A$ הפיכה, הצורה המדורגת קנונית שלה היא $I$.

הסבר: נסמן את הצורה המדורגת קנונית של $A$ ב $P$.

קיימות מטריצות אלמנטריות $E_1,\ldots ,E_k$ כך ש

$E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = P$.

$P$ הפיכה כי היא מכפלה של מטריצות הפיכות.

אבל לצורה מדורגת של מטריצה ריבועית יש רק 2 אפשרויות. או שהיא $I$ או שיש בה שורת אפסים.

לכן $P=I$. (מטריצה בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה).

שלב ה: סיום

נותר רק לכפול משמאל את

$E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = I$.

ב $(E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1}$.

ולקבל

$A = (E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1}$

היות והופכי של מטריצה אלמנטרית הוא גם מטריצה אלמנטרית.

קיבלנו ש$A$ היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות.--איתמר שטיין 20:44, 27 באוגוסט 2012 (IDT)