קוד:סכום של סדרה הנדסית

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־10:45, 15 באוגוסט 2014 מאת Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "סדרה $a_n$ נקראת סדרה הנדסית אם $ \exists q \forall n : a_{n+1}=q\cdot a_n $. נסמן את הסדרה $x_n=\sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_1 q +...")
(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)

סדרה $a_n$ נקראת סדרה הנדסית אם $ \exists q \forall n : a_{n+1}=q\cdot a_n $.

נסמן את הסדרה $x_n=\sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_1 q + a_1 q^2 +\cdots + a_1 q^{n-1} = a_1 (1+q+q^2+\cdots +q^{n-1}) $ ונשים לב ש- $x_n (1-q)=a_1 (1-q^n) \Rightarrow x_n = \frac{a_1 (q^n -1)}{q-1} $ . מה הגבול של הסדרה הזאת?

אם $|q|>1$ אז $\lim_{n\to \infty}|\frac{q^n-1}{q-1}| = \infty $

אם $|q|<1$ אז $\lim_{n\to \infty} q^n = 0 $ ואז לפי אריתמטיקה של גבולות, $\lim_{n\to \infty} x_n = \frac{a_1 (0-1)}{q-1}=\frac{a_1}{1-q} $

אם $q=1$ אז נשים לב ש- $a_n=a_1$ ולכן $x_n=n\cdot a_1 $ ולכן חוץ מבמקרה המנוון בו האיבר הראשון הוא 0, הסדרה לא תתכנס.

אם $q=-1$ אז $x_n$ תראה ככה: $a_1,0,a_1,0,\cdots $ , ושוב זה לא מתכנס חוץ מבמקרה בו $a_1=0$