קוד:ערכים עצמיים של אופרטור נילפוטנטי

\textbf{למה:}

אם $T:V\rightarrow V$ אופרטור נילפוטנטי, $n=\dim V$, אזי הפולינום האופייני של $T$ הוא $p_T\left(x\right)=x^n$.

\textit{הוכחה:}

$T^s=0$, ולכן $x^s$ הוא פולינום מאפס ל-$T$. לכן, $m_T\left(x\right)|x^s$, ז"א $m_T\left(x\right)=x^k$. אבל $p_T\left(x\right)|\left[m_T\left(x\right)\left]^n$, ולכן $p_T\left(x\right)|x^{kn}$, ובנוסף $\deg\left(p_T\right)=n$. לכן, $p_T\left(x\right)=x^n$.

\textbf{מסקנה:}

$\lambda=0$ הוא ערך עצמי יחיד של כל אופרטור נילפוטנטי.

שימו לב שאת המסקנה האחרונה ניתן להוכיח גם ללא המשפט, והמשפט ינבע ממנה )נסו להוכיח לבד!(.