קוד:קיום ויחידות הפולינום המינימלי

לכאורה, נראה שאין הכרח שיהיה פולינום מינימלי כזה. עם זאת, המשפט הבא יוכיח לא רק שקיים פולינום מינימלי לכל מטריצה, אלא שהוא גם יחיד.

\textbf{משפט:}

הפולינום המינימלי $m_A$ קיים והוא יחיד.

\textit{הוכחה:}

\underline{קיום} - יש פולינומים מאפסים )למשל, האופייני, לפי קאלי-המילטון(. אם הפולינום המאפס איננו מתוקן, אזי נתקן אותו בעזרת חילוק במקדם הראשי. נבחר את המעלה הנמוכה ביותר, ונקבל פולינום מינימלי.

\underline{יחידות} - נניח $m,\tilde{m}$ שניהם פולינומים מינימליים. לכן, $\deg \left (m \right )=\deg\left (\tilde{m} \right )$. שניהם מתוקנים, לכן אם $m\neq\tilde{m}$, אזי $f=m-\tilde{m}$ פולינום מאפס ממעלה נמוכה יותר, בסתירה. לכן $m=\tilde{m}$, והוכחנו יחידות.