קוד:רציפות במ"ש
<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex>
עד כה הגדרנו רציפות באופן נקודתי ואמרנו שפונקציה רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע בנפרד.
באופן אינטואיטיבי, אומרים כי פונקציה מתכנסת 'יותר מהר' אל הגבול שלה, אם הדלתא הנדרש לאפסילון הוא גדול יותר (כלומר הפונקציה קרובה לגבול בתחום יותר רחב). אנו רוצים להגדיר פונקציות אשר מהירות ההתכנסות שלהן דומה בכל נקודה בקטע מסויים.
\begin{definition} פונקציה f נקראת רציפה במידה שווה (רציפה במ"ש) בקטע A אם: $$\forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \forall x_1,x_2\in A : |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$$ שימו לב כי ברציפות רגילה בקטע A, לכל נקודה בקטע ההתאמה של הדלתא לאפסילון עשוייה להיות שונה. כאשר הפונקציה רציפה במ"ש, לכל אפסילון יש דלתא המתאים לכל הקטע A. \end{definition}
\begin{example} הפונקציה $f(x)=x$ רציפה במ"ש על כל ציר הממשיים.\\ אכן, לכל אפסילון ניקח דלתא שווה לאפסילון ונקבל כי $|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1-x_2|<\delta=\epsilon$ \end{example}
\begin{example} לפעמים פונקציה מסויימת עשוייה להיות רציפה במ"ש בקטע מסויים אך לא רציפה במ"ש בקטע אחר. ראשית, נביט ב $ f(x)=x^2 $ על הקטע הסופי $(a,b)$. יהי $\varepsilon>0$, אזי: $$|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1^2-x_2^2|=|(x_1-x_2)(x_1+x_2)|\leq |x_1-x_2|\cdot 2\max\{|a|,|b|\}$$ כעת, אם ניקח $\delta = \frac{\epsilon}{2\max\{|a|,|b|\}}$ נקבל שהפונקציה רבמ"ש בתחום.\\ עכשיו, נבחן את אותה הפונקציה $f(x)=x^2$ על כל הממשיים, ונוכיח כי היא אינה רציפה שם במ"ש. ניקח $\epsilon=1$. צריך להוכיח כי לכל $\delta>0$ קיים זוג מספרים ממשיים המקיימים $|x_1-x_2|<\delta$ וגם $|f(x_1)-f(x_2)|\geq 1$.\\ ניקח $x_2=x_1+\frac{\delta}{2}$ ונראה כי אם נבחר את $x_1$ להיות גדול מספיק, נקבל את הדרוש. ברור כי $|x_1-x_2|=\frac{\delta}{2}<\delta$ $$|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1^2-x_2^2|=|(x_1-x_2)(x_1+x_2)|=\frac{\delta}{2}|2x_1+\frac{\delta}{2}|$$ ברור שאם נגדיל את $x_1$ מספיק נקבל את הדרוש.
\end{example}
\begin{thm} אם $f$ רציפה במ"ש ב- $A$ אזי רציפה שם. \end{thm}
\begin{proof} יהי $x_0 \in A $ , נרצה להראות ש- $f$ רציפה בו. כלומר $$\forall \varepsilon>0 \exists \delta \forall x : |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon $$ אבל ידוע מהנתון שלכל אפסילון קיים דלתא כך שהתנאי נכון לכל $x_1,x_2 $ שמרחקם זה מזה קטן מ- $\delta $ , בפרט ל- $x,x_0 $ . \end{proof}
\begin{thm} אם $f,g$ רבמ"ש ב-$A$ אזי לכל $\alpha,\beta \in \mathbb{R} $ מתקיים ש- $\alpha f+ \beta g $ רבמ"ש ב-$A$.
שימו לב, כפל אינו רציף במ"ש בהכרח, לדוגמא $x^2=x\cdot x$, כאשר הפונקציה משמאל אינה רציפה במ"ש על כל הממשיים, ואילו הפונקציות מימין כן.
\end{thm}
\begin{proof} יהי $\varepsilon>0 $ . אזי ידוע שקיימים $\delta_1 , \delta_2 $ כך ש-
$$ \forall x_1,x_2 : |x_1-x_2|<\delta_1 \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2|\alpha|} $$ $$ \forall x_1,x_2 : |x_1-x_2|<\delta_2 \Rightarrow |g(x_1)-g(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2|\beta|} $$
נגדיר $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2 \} $ . יהיו $x_1,x_2 $ כך ש- $|x_1-x_2|<\delta $ . נראה כי
$$|\alpha f(x_1)+\beta g(x_1)-(\alpha f(x_2)+\beta g(x_2))|\leq |\alpha| \cdot |f(x_1)-f(x_2)| + |\beta| \cdot |g(x_1)-g(x_2)| <$$ $$|\alpha| \frac{\varepsilon}{2|\alpha|} + \beta \frac{\varepsilon}{2|\beta|} = \varepsilon $$ \end{proof}
\begin{thm} פונקציה f אינה רציפה במ"ש בקטע A אם"ם קיים זוג סדרות (עם איברים מ-A) המקיימות:
$|x_n-y_n|\rightarrow 0$
וגם
$|f(x_n)-f(y_n)|\not\rightarrow 0$
\end{thm}
\begin{proof} אם הפונקציה אינה רציפה במ"ש אזי קיים אפסילון גדול מאפס כך שלכל דלתא גדול מאפס יש זוג מספרים בקטע במרחק קטן מדלתא, כך שהפרש התמונות בינהם גדול או שווה לאפסילון.
ניקח סדרת דלתאות כלשהי השואפת לאפס. הסדרות המורכבות מהזוגות המותאמים לדלתאות מקיימות את הדרוש.
בכיוון ההפוך, אם יש זוג סדרות כזה, כיוון שסדרת ההפרשים בין התמונות אינה שואפת לאפס יש לה תת סדרה שמתכנסת למספר שונה מאפס (הגבול העליון). תת הסדרות המתאימות של הזוגות יספקו זוג מתאים לכל דלתא, כאשר האפסילון יהיה חצי מגבול סדרת ההפרשים.
\end{proof}
\begin{thm} אם $f$ רבמ"ש על קטע סופי אזי היא חסומה שם. המשפט ההפוך לא נכון, לדוגמה $f(x)=\sin \frac{1}{x} $ ב- $(0,1) $ \end{thm}
\begin{proof} נניח בשלילה ש- $f$ לא חסומה מלעיל, ועבור חסומה מלרע ההוכחה דומה. מההנחה מתקיים $$\forall n\in \mathbb{N} \exists x_n : x_n >n$$ נניח בה"כ שהמרחק בין איברי $x_n$ גדול או שווה ל-1, משום שאם זה לא המצב אפשר לקחת תת סדרה שתקיים את זה. כיוון ש- $x_n$ סדרה חסומה (מוכלת בקטע סופי) יש לה תת סדרה מתכנסת $y_k=x_{n_k} $ . כעת נסתכל על הסדרה $y_k$ ועל הסדרה $y_{k+1} $ , כיוון שהסדרות מתכנסות לאותו דבר, $|y_{k+1}-y_k |\to 0 $ אבל מצד שני $|f(y_{k+1})-f(y_k)|\geq 1 $ , ולכן הפונקציה לא רבמ"ש.
\end{proof}
\begin{thm} משפט קנטור: פונקציה רציפה בקטע סגור וסופי, רציפה שם במ"ש
\end{thm}
\begin{proof} תהי f רציפה על קטע סגור וסופי $[a,b]$. נניח בשלילה שהיא לא רציפה שם במ"ש. לכן קיים אפסילון גדול מאפס, כך שלכל דלתא גדול מאפס, יש שתי נקודות במרחק קטן מדלתא כך שהפרש התמונות שלהן גדול או שווה לאפסילון. ניתן אם כך לבנות סדרה של זוגות של נקודות
$x_n,y_n$ כך שמתקיים $ x_n-y_n\rightarrow 0 $ אבל $|f(x_n)-f(y_n)|\geq \epsilon$
לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרות, יש ל$x_n$ תת סדרה מתכנסת $x_{n_k}$ (כיוון שהקטע סופי, הסדרה חסומה).
בנוסף, לתת הסדרה $y_{n_k}$ יש תת סדרה מתכנסת. אם כך, בנינו זוג סדרות מתכנסות המקיימות את התנאים:
$x'_n-y'_n\rightarrow 0$
$|f(x'_n)-f(y'_n)|\geq \epsilon$
אבל כיוון שזה קטע סגור, נקודת הגבול של הסדרות המתכנסות שייכת לקטע (נקודת הגבול בינהן זהה כי המרחק בינהן שואף לאפס). לכן, לפי רציפות,
$\lim f(x'_n)=\lim f(y'_n)$
בסתירה.
\end{proof}
\begin{thm} נניח $f:A\to B $ רבמ"ש ו- $g:B\to \mathbb{R} $ רבמ"ש אזי $h=g\circ f $ רבמ"ש \end{thm}
\begin{proof} תהיינה $x_n,y_n $ סדרות של נק' כך ש- $|x_n-y_n|\to 0 $ .
$f$ רבמ"ש ולכן $|f(x_n)-f(y_n)|\to 0 $ אבל גם $g$ רבמ"ש ולכן $|g(f(x_1))-g(f(x_2))|=|h(x_1)-h(x_2)|\to 0 $ . מהשלילה של אחת הטענות הקודמות נקבל ש- $h$ רבמ"ש. \end{proof}
\begin{thm} אם $f$ רציפה במ"ש על הקטעים $(a,b],[b,c)$ (לאו דווקא קצות סופיים), אזי היא רציפה במ"ש באיחוד $(a,c)$
\end{thm}
\begin{proof} יהי $\epsilon>0$.
$f$ רציפה במ"ש ב $(a,b]$ ולכן קיים $\delta_1>0$ כך שלכל $x,y\in(a,b]$ המקיימים $|x-y|<\delta_1$ מתקיים $|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}$.
$f$ רציפה במ"ש ב $[b,c)$ ולכן קיים $\delta_2>0$ כך שלכל $x,y\in[b,c)$ המקיימים $|x-y|<\delta_2$ מתקיים $|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}$.
יהי $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$. אזי $\delta>0$. נראה שלכל $x,y\in(a,c)$ המקיימים $|x-y|<\delta$ מתקיים $|f(x)-f(y)|<\epsilon$. נניח $x,y\in(a,c)$ כך ש $|x-y|<\delta$. יתכנו שלושה מצבים:
א) $x,y\in(a,b]$. אזי $|x-y|<\delta\leq \delta_1$ ומכאן $|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}<\epsilon$.
ב) $x,y\in [b,c)$ ומכיון ש $|x-y|<\delta\leq \delta_2$ נסיק ש $|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}<\epsilon$.
ג) אחת מהנקודות ב $(a,b]$ והשניה ב $[b,c)$. נניח בה"כ ש $x\in (a,b]$ ו $y\in[b,c)$. מכאן $|x-b|\leq|x-y|<\delta\leq \delta_1$ וכן $|y-b|\leq|x-y|<\delta\leq \delta_2$. מכאן $|f(x)-f(b)|<\frac{\epsilon}{2} $ וכמו כן $|f(b)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}$. כעת ניעזר באי שוויון המשולש כדי לקבל $|f(x)-f(y)|\leq |f(x)-f(b)|+|f(b)-f(y)|<\epsilon $
\end{proof}
\begin{thm} תהי f רציפה על קטע חצי אינסופי מהצורה $[a,\infty)$, כך שהגבול $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=L$
קיים וסופי, אזי f רציפה במ"ש על הקטע $[a,\infty)$. \end{thm}
\begin{proof} יהי אפסילון גדול מאפס, צריך למצוא דלתא גדול מאפס כך שאם המרחק בין זוג נקודות בקטע קטן מדלתא, המרחק בין התמונות שלהן תחת הפונקציה קטן מאפסילון.
לפי הנתון, קיים M כך שלכל $x>M$ מתקיים $|f(x)-L|<\frac{\epsilon}{2}$.
לכן לכל $x_1,x_2>M$ מתקיים $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$ (בעזרת אי שיוויון המשולש).
כעת, לפי משפט קנטור f רציפה במ"ש בקטע $[a,M+1]$, ולכן קיים דלתא כך שלכל זוג נקודות $a\leq x_1,x_2\leq M+1$ הקרובות עד כדי דלתא, מתקיים $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$.
אם ניקח מרחק שקטן או שווה למינימום שבין דלתא לבין אחד, יתקיים שאם $|x_1-x_2|<\delta$ אזי שתי הנקודות נמצאות בקטע $[M,\infty)$ או בקטע $[a,M+1]$ ולכן ההפרש בין התמונות שלהן תחת f הוא קטן מאפסילון כפי שרצינו.
\end{proof}
\begin{corollary} תהי f פונקציה רציפה על קטע לאו דווקא סופי, אזי אם הגבולות של הפונקציה בקצות הקטע קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במ"ש בקטע. זה לא נכון בכיוון ההפוך, לדוגמה $f(x)=x $ מפריכה. \end{corollary}
\begin{proof} אם הקטע הוא מהסוג $<a,b> $ אזי אפשר להרחיב את הפונקציה ל- $[a,b] $ ובקצוות הפונקציה תקבל את הגבולות החד צדדיים. מכאן שהפונקציה רציפה בקטע סגור ולכן רבמ"ש שם ובפרט תהיה רבמ"ש בתת קטע $<a,b> $
אם הקטע מהצורה $[a,\infty) $ הוכחנו
אם הקטע מהצורה $(-\infty,\infty) $ אז ניקח נקודה באמצע ונעשה חלוקה לקטעים ובכל קטע הפונקציה רבמ"ש ולכן גם ב- $(-\infty, \infty) $ \end{proof}
\begin{thm} פונקציה מחזורית הרציפה על כל הממשיים, רציפה במ"ש על כל הממשיים.
שימו לב: פונקציה נקראת מחזורית אם קיים מספר ממשי p כך שלכל x ממשי מתקיים:
$f(x+p)=f(x)$
\end{thm}
\begin{proof} יהי $\varepsilon>0 $
נקבע $x_0 $ ונראה ש- $f$ רבמ"ש ב- $[x_0,x_0+2p]$ ולכן קיים $\delta>0 $ כך שהגדרת הרציפות במ"ש מתקיימת.
כעת עבור $x_1,x_2\in \mathbb{R} $ כך ש- $|x_1-x_2|<\delta $ נשים לב ש- $|f(x_1)-f(x_2)| $ לא ישתנה אם נזיז את $x_1,x_2 $ כל פעם $p$ ימינה או שמאלה על ציר המספרים עד שיגיעו ל- $[x_0,x_0+2p]$ ושם ידוע שהמרחק בין ערכי הפונקציה קטן מאפסילון, לכן סיימנו.
\end{proof}
בעתיד, כשנלמד על נגזרות נראה שיש עוד דרך להוכיח רציפות במ"ש.
<tex>קוד:זנב</tex> </latex2pdf>