לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 &\lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix} }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחתית הדף את השורה הבאה:

== כותרת שאלה ==

ולכתוב מתחתיה את השאלה שלכם.

ארכיון

ארכיון 1 - שאלות על תרגילים 1-4

שאלות

שאלה לדוגמא

מה זה Span?

תשובה

אוסף כל הצירופים הלינאריים

--ארז שיינר 20:07, 22 באוקטובר 2009 (UTC)

הבנתי, תודה.

בשמחה

יותר קונסטרוקטיבי לחשוב על זה כ"המרחב הנפרש", התת-מרחב הקטן ביותר שמכיל את הקבוצה הנתונה.

שאלה לארז

האם קיימת אפשרות לשמור את כל התוכן של דף זה בדף אחר (שאלות ותשובות 1 - תרגילים 1-4, למשל..), ולמחוק את כל מה שיש כרגע פרט לשאלות שרלוונטיות לתרגיל ולחומר של השבוע, במטרה להקל על הצפייה והטעינה?

תשובה

כן, אני אעשה את זה. אני מבקש לא למחוק שום דבר שנרשם אף פעם משום סיבה, אלא אם אתם בעצמכם כתבתם את זה.

תרגיל 1.4

בסעיפים ב' וג' יש הפניה לשאלה 1.1, ואני לא ממש מצליחה למצוא ת'קשר... יש בעיה עם ההבנה שלי או עם הספר??

תשובה

הכוונה לשאלה 1.3 לשני הסעיפים

העתקתי את השאלה מהארכיון כיון שהיא קשורה לתרגיל של השבוע הזה.

תרגיל 1.9

האם שתי המכפלות הן אותן מכפלות? (בסעיף א'..) או שבג' מתעלמים מסעיף א'? כלומר הנתון היחיד שלי זה 2 התכונות בסעיף ב' ואני צריכה להוכיח שהמכפלה שמוגדרת בסעיף ג' היא למעשה לא מכפלה פנימית?

תשובה

בסעיף א' נאמר שכל מכפלה פנימית מקיימת את התכונה [math]\displaystyle{ \lt v,u\gt =vAu^* }[/math]. בסעיף ג', צריך להראות שיש מטריצות שעונות על התכונות בסעיף ב' אך עדיין אין מכפלה פנימית שיוצרת אותן כמו בסעיף א'. אם הייתה מכפלה כזו, אז היא הייתה מקיימת את השיוויון [math]\displaystyle{ \lt v,u\gt =vAu^* }[/math], ולכן הפונקציה הזו הייתה אכן מכפלה פנימית.

שאלה

יש להביא דוגמא נגדית ב 1.5?

תשובה

יש להראות שאחד מחוקי המכפלה הפנימית לא מתקיים. אפשר לעשות את זה על ידי דוגמא נגדית לחוק שלא מתקיים בעזרת מספרים מרוכבים

שאלה

ארז - האם קיים חוק שאומר : לכל v שונה מאפס מתקיים ש: <v,v> גדול מאפס? (גדול ממש)

תשובה

כן, חוק אי שליליות אומר ש [math]\displaystyle{ \lt v,v\gt \geq 0 }[/math] ושיוויון מתקיים [math]\displaystyle{ v=0 \iff }[/math]. במילים אחרות, אם [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \lt v,v\gt \gt 0 }[/math] ממש

שאלה

האם מותר לי להשתמש בשעורי הבית בכל המשפטים שנלמדו בהרצאה? (בהנחה שלא מבקשים להוכיח אותם)

תשובה

עקרונית כן, אבל זו שאלה דיי כללית

שאלה 4.12.0.5

האם מתכוונים בשאלה להוכחה רק לגבי המכפלה הפניימית הסטנדרטית או לכל מכפלה פנימית?

תשובה

המכפלה הפנימית הסטנדרטית, אבל שים לב שזו הסטנדרטית מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \lt (z_1,...,z_n),(w_1,...,w_n)\gt = z_1\overline{w_1}+...+z_n\overline{w_n} }[/math]

בסדר אבל אני לא מתייחס כל כך בהוכחה שזה C כי זה נכון גם ל C וגם לr ההוכחה שלי

[math]\displaystyle{ A^* = \overline{A^t} }[/math], איך אפשר לא להתייחס למרוכבים כשמדובר על הצמדה?

לארז - בקשר לשאלת הבונוס שנתת בכיתה

כל הדרך הביתה ישבתי על ההוכחה, אח"כ ישבתי כמעט כל הלילה בשביל הבונוס הזה. בסה"כ ישנתי קצת פחות מ-4 שעות. האם אתה יכול לומר לנו סוף סוף אם מישהו הצליח להוכיח, אם קבלת, ואם מישהו כבר קבלת את הבונוס?

תשובה

יש כבר פותרים, אני אפרסם את הפתרונות בקרוב, אני עוד עובר על הוכחות.

שאלה 5.7

ניסיתי לחלק ל-3 מקרים אבל לא ממש יצא לי.. אפשר איזשהו רמז?

תשובה

אילו מקרים? מה התנאי למרחב ניצב? תבדוק אותו מפורשות

שאלה

האם מותר בשאלה זו (5.7) להשלים את הקבוצה S לבסיס אורתונורמלי, לפי המשפט שאומר שכל קבוצה אורתונורמלית ניתנת להשלמה לבסיס אורתונורמלי?

תשובה

זה מותר ונכון אבל אין צורך בזה, התשובה פשוטה יותר. כמו שרשמתי למעלה, צריך לבדוק את התנאי לניצבות, וזו תשובה של שתי שורות.

בתגובה לתשובה

תודה רבה. לא הצלחתי לעלות על התשובה, אז ספקתי תשובה די ארוכה של עמוד שלם של הוכחה, למרות שהוכחה הייתה מאוד קלה.

שאלה - 5.10

האם קיימת סיבה לכך שההדרכה אומרת לבחור בסיס, ורק אח"כ לבצע גרם-שמידט? האם לא יכלנו לבחור מראש בסיס אורתונורמלי? דבר נוסף, רק לשם בדיקה: האם גם לכם ייצא שהמכפלה הפנימית: <v,w> שווה לאלפא-i בריבוע?

תשובה

אתה צודק אפשר לקחת ישר בסיס אורתונורמלי, אבל חשוב מאד לקחת בסיס לU ולהשלים אותו להיות בסיס למרחב כולו.

שאלה 5.14

איך מוצאים בסיס ומימד למרחב הניצב רק ע"י span של המרחב?

תשובה

אם וקטור הוא אורתוגונלי לבסיס של הspan, מה המכפלה הפנימית שלו עם שאר איברי הspan?

ושאלה נוספת, למה שווה הסכום [math]\displaystyle{ W+W^\perp }[/math]?

--ארז שיינר 19:45, 26 בנובמבר 2009 (UTC)

אני יכולה בעצם לומר: כדי שוקטור יהיה בW+, הוא צריך לקיים שהמכפלה הפנימית שלו עם 2 הוקטורים הנתונים הם 0.. ואז להגדיר V =(x,y,z) ולמצוא לאיזה ערכים של x,y,z שמובעים לדוגמה באמצעות Z זה מתקיים? ומשם גם להוציא את הבסיס..?

כן. וההסבר לכך הוא מה שרשמתי למעלה (זה לגבי מציאת הבסיס, ולא לגבי המימד. את המימד ניתן לומר מיד).

שאלת בונוס

לגבי ההוכחה הראשונה שניתנה.. למה מותר להניח שבפולינום האופייני של A^2 - המעלה הגבוהה ביותר של (x-alpha)לע"ע alpha כלשהו היא 1?

תשובה

[math]\displaystyle{ A^2 }[/math] לכסינה. לפי התיקון השני לתרגיל, הפולינום האופייני שלה מכיל גורמים לינאריים בלבד. (אחרת היה בלוק ז'ורדן בגודל גדול מ1 ואז צורת הז'ורדן לא הייתה אלכסונית).

נכון, אבל למה זה אומר שלא יכול להיות (x-alpha)^3 למשל..? זה מתפרק ל(x-alpha)(x-alpha)(x-alpha(

עשיתי שני בלבולים:

• מדובר על הפולינום המינימלי ולא האופייני של [math]\displaystyle{ A^2 }[/math]
• התיקון השני אמר שהחזקה של הגורמים הלינאריים בפולינום המינימלי חייבת להיות אחד. הסיבה לפי צורת ז'ורדן היא כפי שרשמתי למעלה, כי גודל הבלוק המקסימלי הוא בגודל חזקת הגורם הלינארי בפולינום המינימלי.

אי שיוויון בסל

ניסיתי להוכיח בבית ששיוויון מתקיים אם ורק אם v שייך לspan{v1,..vk} אבל הצלחתי להוכיח רק את הכיוון <==. אפשר רעיון לכיוון השני?

תשובה

ההוכחה צריך להיות דו כיוונית בעיקרון. משלימים את הקבוצה האורתונורמלי לבסיס אורתונורמלי, ואז לכל וקטור יש הצגה יחידה לפי הבסיס הזה. מפרקים את המכפלות הפנימיות של הוקטור לפי חוקי הלינאריות ומקבלים את תנאי שיוויון פרסבל (זה השיוויון באי שיוויון בסל). 

בנוגע לתרגיל הנוסף

בתרגיל הנוסף יש כמות נכבדת של אינטגרלים שצריך לחשב. האם מותר לבצע את תהליך האינטגרצייה במחשבון, מבלי לנמק? וזה רק אני, או שהוקטורים שמתקבלים ממש לא יפים?

זה אשכרה התעללות, הוקטורים שיוצאים אחרי הג"ש ממש, ממש לא נוחים לחישוב..

חישוב במחשבון הוא בסדר, המטרה היא לא לראות שאתם יודעים אינטגרלים (אפשר לעשות חישוב שניים והשאר במחשבון. דבר שני, היה צריך לזכור שכל החזקות האי זוגיות אוטומטית נמחקות, ושלישית למדנו בגרם שמידט שאפשר לשמור על מספרים יפים ורק בסוף לחלק בנורמה. לכן אין צורך להסחב עם מספרים לא יפים, הכי הרבה לרשום חלקי נורמה, ורק בתשובה הסופית להציב אותה.