88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4
מרחבים וקטורים
דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ[math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\} }[/math]
עם חיבור [math]\displaystyle{ (x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2}) }[/math]
וכפל בסקלאר [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z) }[/math] הוא מרחב וקטורי.
ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.
הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה [math]\displaystyle{ (V,\mathbb{F},+,\cdot) }[/math], כאשר
- [math]\displaystyle{ V }[/math] היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר [math]\displaystyle{ +:V\times V \to V }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של [math]\displaystyle{ V }[/math] וכפל בסקלאר.
- כפל בסקלאר ([math]\displaystyle{ \cdot }[/math]) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math].
פורמאלית [math]\displaystyle{ \cdot : \mathbb{F}\times V \to V }[/math].
אקסיומות מרחב וקטורי:
- אקסיומות של החיבור ב [math]\displaystyle{ V }[/math]:
לכל [math]\displaystyle{ v,w,u\in V }[/math] מתקיים
- מוגדרות: [math]\displaystyle{ v+w\in V }[/math] .
- קיבוץ: [math]\displaystyle{ v+(u+w)=(v+u)+w }[/math] .
- חילוף: [math]\displaystyle{ v+u=u+v }[/math] .
- איבר נטרלי: [math]\displaystyle{ \exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v }[/math] .
- איבר נגדי: [math]\displaystyle{ \forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0 }[/math] .
- אקסיומות של כפל וחיבור של שדה -בהגדרת שדה
- אקסיומות כפל בסקלאר
לכל [math]\displaystyle{ v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים
- מוגדרות [math]\displaystyle{ \alpha v\in V }[/math]
- קיבוץ: [math]\displaystyle{ \alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v }[/math]
- כפל ביחידה (של השדה): [math]\displaystyle{ 1_{\mathbb{F}}\cdot v=v }[/math]
- פילוג:
- [math]\displaystyle{ \alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u }[/math]
- [math]\displaystyle{ (\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v }[/math]
טרמינולוגיה: אומרים ש [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math].
איברי [math]\displaystyle{ V }[/math] נקראים וקטורים. איברי [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] נקראים סקלארים.
תכונות בסיסיות:
.1 [math]\displaystyle{ (-1_{F})v=(-v) }[/math]
.2 [math]\displaystyle{ 0_{F}v=0_{V} }[/math]