88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7
מרחבי המטריצות
תהי מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math]. מגדירים 4 מרחבים עיקריים:
- מרחב העמודות של A. זהו המרחב הנפרש על ידי עמודות המטריצה A. נסמן [math]\displaystyle{ C(A)=span\{C_1(A),...,C_n(A)\}=\{Ax\; | \; x\in \mathbb{F}^n\}\leq\mathbb{F}^m }[/math]
- 'מרחב השורות של A. זהו המרחב הנפרש על ידי עמודות המטריצה A. נסמן [math]\displaystyle{ R(A)=span\{R_1(A),...,R_m(A)\}=\{A^tx\; | \; x\in \mathbb{F}^m\}=C(A^t)\leq\mathbb{F}^n }[/math]
- מרחב האפס של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית [math]\displaystyle{ Ax=0 }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n|Ax=0\}\leq\mathbb{F}^n }[/math]
- מרחב האפס השמאלי של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית [math]\displaystyle{ A^tx=0 }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ N(A^t)=\{x\in\mathbb{F}^m|A^tx=0\}=\{x\in\mathbb{F}^m|x^tA=0\} \leq \mathbb{F}^m }[/math]
דוגמא:
[math]\displaystyle{ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) }[/math] אזי
1. [math]\displaystyle{ C(A)=span\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right)\} }[/math]
2.
[math]\displaystyle{ R(A)=span\{\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
1
\end{array}\right)\} }[/math]
3. [math]\displaystyle{ N(A)=\{\left(\begin{array}{c}
0\\
t\\
0
\end{array}\right)\}
}[/math]
4. [math]\displaystyle{ N(A^{t})=\{0\} }[/math]
מרחב השורות
תרגיל: תהא [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] ותהא [math]\displaystyle{ E\in\mathbb{F}^{m\times m} }[/math] מטריצה הפיכה (למשל מכפלת מטריצות אלמנטריות שמדרגות את [math]\displaystyle{ A }[/math]).
הוכח [math]\displaystyle{ R(A)=R(EA) }[/math].
הוכחה:
([math]\displaystyle{ \supseteq }[/math]) יהא [math]\displaystyle{ (EA)^{t}x\in R(EA) }[/math] אזי
[math]\displaystyle{ (EA)^{t}x=A^{t}E^{t}x=A^{t}(E^{t}x)=A^{t}y\in R(A) }[/math].
([math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]) יהא [math]\displaystyle{ A^{t}x\in R(A) }[/math] אזי
[math]\displaystyle{ A^{t}x=(E^{-1}EA)^{t}x= (EA)^tE^{-t}x = (EA)^ty \in R(EA) }[/math]
מסקנה: בפרט אם [math]\displaystyle{ E }[/math] מכפלה של מטריצות אלמנטריות המעבירות את [math]\displaystyle{ A }[/math] לצורה מדורגת/קנונית אז נקבל כי מרחב השורות של [math]\displaystyle{ A }[/math] שווה למרחב השורות של הצורה המדורגת/קנונית.
תרגיל/דוגמא:
תהא [math]\displaystyle{ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 3 & 3 & 5 \end{array}\right) }[/math] מצא את [math]\displaystyle{ R(A) }[/math].
פתרון: [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 3 & 3 & 5 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) }[/math] .
כיוון שמרחב השורות של [math]\displaystyle{ A }[/math] שווה למרחב השורות לאחר דירוג נקבל ש
[math]\displaystyle{ R(A)=span\{ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 1\end{array}\right)\}=\{\left(\begin{array}{c} a\\ 2a+b\\ 3a\\ 4a+b \end{array}\right) \; | \; a,b\in \mathbb{R}\} }[/math]
יישום: השלמה לבסיס
ראינו שמרחב השורות לא משתנה בדירוג. לכן כדי למצוא וקטור שאינו במרחב השורות, אפשר להסתכל הצורה המדורגת ולמצוא וקטור שאינו נמצא במרחב השורות של המדוגרת. כמו שראינו, כאשר מוסיפים וקטור [math]\displaystyle{ v }[/math] שאינו נמצא ב [math]\displaystyle{ v\not\in span\{v_1,\dots, v_n\} }[/math] אזי
דוגמא:
השלם את [math]\displaystyle{ \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \} }[/math]
לבסיס.
נדרג
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \} }[/math]
מרחב העמודות
את מרחב העמודות ניתן למצוא כמו את מרחב השורות ע"י מעבר ל [math]\displaystyle{ A^{t} }[/math]. נראה ע"י דוגמא עוד דרך:
דוגמא: מצא את מרחב העמודות של [math]\displaystyle{ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 3 & 3 & 5 \end{array}\right) }[/math]
פתרון: אחרי דירוג קיבלנו
[math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) }[/math]
ניתן להוכיח את הטענה: מרחב העמודות נפרש ע"י העמודות במטריצה המקורית שמתאימות לעמודות ציר.
אצלנו בדוגמא שעמודות הציר הן עמודות מספר 1 ו - 2 נקבל כי מרחב העמודות הוא [math]\displaystyle{ C(A)=span\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 2\\ 1\\ 3 \end{array}\right)\} }[/math]
שימו לב שזה לא שווה למה שנפרש ע"י עמודות הציר של המטריצה המדורגת (כלומר מרחב העמודות "מתקלקל" בדירוג):
[math]\displaystyle{ C(A) \not= span\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 2\\ 1\\ 0 \end{array}\right)\} }[/math] כי [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 1 \end{array}\right)\notin span\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 2\\ 1\\ 0 \end{array}\right) }[/math]
תרגיל: נסו להוכיח את הטענה שהשתמשנו בה בתרגיל. טענה: מרחב העמודות [math]\displaystyle{ C(A)=span \{C_{i_1}(A),\dots C_{i_r}(A)\} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ i_1,\dots i_r }[/math] אלו עמודות הציר במטריצה המדורגת.
הדרכה: השתמשו בעבודה [math]\displaystyle{ E }[/math] המטריצה המדרגת הפיכה ולכן בתליות ופרישה של עמודות לא מתקלקלים... (ניסוח לא פורמאלי)
משפט: [math]\displaystyle{ dim[R(A)]=dim[C(A)] }[/math]
הגדרה: הדרגה של [math]\displaystyle{ A }[/math] מוגדרת להיות [math]\displaystyle{ rank(A)=dim[R(A)] }[/math]
אבחנה: מימדי מרחבים המטריצה והדרגה
תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] מטריצה. המספרים הבאים שווים (זה נובע מהחומר שלמדנו עד עכשיו):
- דרגת המטריצה
- מימד מרחב העמודות
- מימד מרחב השורות
- מספר השורות השונות מאפס בצורה הקנונית
- מספר האיברים הפותחים
- מספר עמודות הציר
- מספר המשתנים התלויים
המספרים הבאים שווים:
- מספר המשתנים החופשיים
- מימד מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית
מכיוון שמספר המשתנים החופשיים ועוד מספר המשתנים התלויים שווה לסך כל המשתנים, וזהו מספר העמודות במטריצה, נובע שדרגת המטריצה ועוד מימד מרחב הפתרונות שווים למספר העמודות.
כלומר משפט (הדרגה עבור מטריצות)
עבור [math]\displaystyle{ A\in \mathbb{F}^{m\times n} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ rank(A)+\dim N(A) = n }[/math]
זיכרו זאת, בהמשך נוכיח משפט הדרגה הכללי
תרגיל
יהיו [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n},B\in\mathbb{F}^{n\times p} }[/math] מטריצות
הוכח: [math]\displaystyle{ rank(AB)\leq rank(A),rank(B) }[/math]
הוכחה: ש"ל [math]\displaystyle{ dim[C(AB)]\leq dim[C(A)] }[/math] נסמן [math]\displaystyle{ \{a_{1},\dots,a_{l}\} }[/math] בסיס למרחב העמודות.
בנוסף [math]\displaystyle{ C(AB)=span \{C_1(AB),\dots , C_p(AB)\}=span\{AC_{1}(B),\dots,AC_{p}(B)\} }[/math] כיוון שלכל [math]\displaystyle{ i }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ AC_{i}(B) }[/math] הוא צ"ל של עמודות [math]\displaystyle{ A }[/math] מקבלים ש
[math]\displaystyle{ C(AB)=span\{AC_{1}(B),\dots,AC_{p}(B)\}\subseteq span\{a_{1},\dots,a_{l}\}=C(A) }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ dim[C(AB)]\leq dim[C(A)] }[/math].
באופן דומה [math]\displaystyle{ dim[R(AB)]\leq dim[R(A)] }[/math] (בעזרת [math]\displaystyle{ dim[R(AB)]\leq dim[R(A)] }[/math])
מסקנה: יהיו [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n},B\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ו - [math]\displaystyle{ B }[/math] הפיכה אזי [math]\displaystyle{ rank(AB)=rank(A) }[/math]
הוכחה: [math]\displaystyle{ rank(A)=rank(ABB^{-1})\leq rank(AB)\leq rank(A) }[/math]
מרחב האפס
תרגיל: תהא [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] ותהא [math]\displaystyle{ E\in\mathbb{F}^{m\times m} }[/math] מטריצה הפיכה.
הוכח [math]\displaystyle{ N(A)=N(EA) }[/math].
פתרון:
([math]\displaystyle{ \supseteq }[/math]) יהא [math]\displaystyle{ x\in N(EA) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ EAx=0 }[/math] נכפיל ב [math]\displaystyle{ E^{-1} }[/math] משמאל ונקבל [math]\displaystyle{ Ax=0 }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ x\in N(A) }[/math]
([math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]) יהא [math]\displaystyle{ x\in N(A) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ Ax=0 }[/math] נכפיל ב [math]\displaystyle{ E }[/math] משמאל ונקבל [math]\displaystyle{ EAx=0 }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ x\in N(EA) }[/math]
אם ניקח [math]\displaystyle{ E }[/math] להיות המטריצה שמדרגת את [math]\displaystyle{ A }[/math] נקבל את
מסקנה: דירוג אל מקלקל את מרחב האפס.
תרגיל: מצא את מרחב האפס של [math]\displaystyle{ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 3 & 3 & 5 \end{array}\right) }[/math].
פתרון: אחרי דירוג קיבלנו [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) }[/math] ולכן מרחב האפס הוא ([math]\displaystyle{ z=t,w=s }[/math])
[math]\displaystyle{
N(A)=
\{
\left(\begin{array}{c}
-2s-3t\\
-s\\
t\\
s
\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}
-3\\
0\\
1\\
0
\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}
-2\\
-1\\
0\\
1
\end{array}\right)
\; | \; t,s\in \mathbb{R}
\}
=span\{\left(\begin{array}{c}
-3\\
0\\
1\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-2\\
-1\\
0\\
1
\end{array}\right)\} }[/math]
.
דוגמא נוספת
מצא בסיס למרחב האפס של המטריצה [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix} }[/math]
דבר ראשון, נדרג קנונית את המטריצה לקבל
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} }[/math]
לפיכך המשתנה השלישי והרביעי הם חופשיים, נציב במקומם פרמטרים t,s והפתרון הכללי הוא מהצורה [math]\displaystyle{ (-t-s,t,t,s) }[/math]. תמיד ניתן לפרק את הפתרון הכללי לסכום של וקטורים קבועים כפול הסקלרים שהם הפרמטרים: [math]\displaystyle{ t(-1,1,1,0) +s(-1,0,0,1) }[/math]. וקטורים קבועים אלה תמיד מהווים בסיס למרחב הפתרונות:
- אנו רואים שכל פתרון הוא צירוף לינארי של הוקטורים הללו עם הסקלרים שהם הפרמטרים (במקרה זה - t,s)
- וקטורים אלה תמיד בת"ל, שכן אם יש צירוף לינארי שלהם שמתאפס, מכיוון שהפרמטרים תמיד מופיעים לבדם בעמודה של המשתנה שלהם, הם חייבים להיות אפס
לכן הבסיס למרחב האפס הינו [math]\displaystyle{ \{(-1,0,0,1),(-1,1,1,0)\} }[/math]
מרחב האפס השמאלי
תרגיל: מצא מצא את מרחב האפס השמאלי של [math]\displaystyle{ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 3 & 3 & 5 \end{array}\right) }[/math]
פתרון: צ"ל [math]\displaystyle{ N(A^{t}) }[/math]. נדרג את [math]\displaystyle{ A^{t} }[/math]
[math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 3\\ 3 & 0 & 3\\ 4 & 1 & 5 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) }[/math]
עבור [math]\displaystyle{ z=t }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ N(A^{t})=\{\left(\begin{array}{c} -t\\ -t\\ t \end{array}\right) \; | \; t\in \mathbb{R} \} =span\{\left(\begin{array}{c} -1\\ -1\\ 1 \end{array}\right)\} }[/math]
סיכום: אלגוריתם למציאת שלושת מרחבי המטריצה [math]\displaystyle{ Cׂ(A),R(A),N(A) }[/math]
- דרג את המטריצה (ניתן גם לדרג קנונית אך לא חובה)
- השורות השונות מאפס מהוות בסיס למרחב השורה
- העמודות במטריצה המקורית המהוות עמודות ציר (כלומר יש איבר פותח בעמודה בצורה הקנונית), מהוות בסיס למרחב העמודה
- הצב פרמטרים במקום המשתנים החופשיים ומצא את הפתרון הכללי למערכת ההומוגנית ששווה למרחב האפס. (הוקטורים הקבועים מהווים בסיס )
שימו לב: בהנתן מרחב כלשהו (פולינומים, מטריצות, פונקציות) ניתן לבצע את החישובים על מרחב הקואורדינטות. כפי שראינו בשיעור שעבר, מציאת בסיס למרחבים רבים שקולה למציאת בסיס למרחב האפס של מטריצה מסוימת.
תרגילים
תרגיל
תהא [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math]. ראינו כי [math]\displaystyle{ dimR(A)+dimN(A)=n }[/math]. במקרה שהשדה הוא ממשי נקבל תוצאה חזקה יותר.
תהא [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{R}^{m\times n} }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ B_R }[/math] בסיס למרחב השורות ו [math]\displaystyle{ B_N }[/math] בסיס למרחב האפס אזי [math]\displaystyle{ B_R\cup B_N }[/math] בסיס ל [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math] (שימו לב שזה אכן תוצאה יותר חזקה))
באופן שקול: הוכח כי לכל מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{R}^{m\times n} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n=R(A)\oplus N(A) }[/math]
פתרון. מכיוון שהרגע ראינו כי סכום המימדים מקיים [math]\displaystyle{ dimR(A)+dimN(A)=n }[/math] לפי משפט המימדים מספיק להוכיח שהחיתוך בינהם הינו אפס.
יהא [math]\displaystyle{ v\in R(A)\cap N(A) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \exists w : A^tw=v, Av=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ AA^tw=0 }[/math] נכפיל ב [math]\displaystyle{ w^t }[/math] משמאל ונקבל כי [math]\displaystyle{ 0=w^tAA^tw=(A^tw)^t(A^tw)=v^tv }[/math] זה גורר כי [math]\displaystyle{ v=0 }[/math] (זיכרו כי במקרה הממשי [math]\displaystyle{ v^tv=\sum_{i=1}^nv_i^2 }[/math]
כעת לפי משפט המימדים מתקיים
[math]\displaystyle{ \dim (R(A)+N(A))=\dim R(A)+\dim N(A) - \dim(R(A)\cap N(A)) = \dim R(A)+\dim N(A) =n }[/math]
כיוון ש [math]\displaystyle{ R(A)+N(A)\subseteq \mathbb{R}^n }[/math] מאותו מימד נקבל כי הם שווים.
הערה: כיוון שהמשפט נכון לכל מטריצה, ניתן ליישמו גם על השיחלוף ולקבל כי [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^m=C(A)\oplus N(A^t) }[/math]
לדוגמא עבור [math]\displaystyle{ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 3 & 3 & 5 \end{array}\right) }[/math] מצאנו כי
[math]\displaystyle{ B_{R}=\{\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
3\\
4
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0\\
1
\end{array}\right)\},\,B_{C}=\{\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
2\\
1\\
3
\end{array}\right)\}, \\
B_{N}=\{\left(\begin{array}{c}
-3\\
0\\
1\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-2\\
-1\\
0\\
1
\end{array}\right)\}\,,B_{N(A^{t})}=\{\left(\begin{array}{c}
-1\\
-1\\
1
\end{array}\right)\} }[/math]
לפי המשפט
[math]\displaystyle{ \{\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
3\\
4
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0\\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-3\\
0\\
1\\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-2\\
-1\\
0\\
1
\end{array}\right)\} }[/math]
בסיס ל [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{4} }[/math]
ו
[math]\displaystyle{ \{\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
2\\
1\\
3
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
-1\\
-1\\
1
\end{array}\right)\} }[/math]
בסיס ל [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{3} }[/math]
תרגיל
תרגיל. יהיו [math]\displaystyle{ A,B\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ rank(A)+rank(B)\gt n }[/math]. הוכח [math]\displaystyle{ AB\not=0 }[/math]
הוכחה: נניח בשלילה כי [math]\displaystyle{ AB=0 }[/math] כלומר לכל [math]\displaystyle{ i }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ C_i(AB)=AC_{i}(B)=0 }[/math]
ומכאן ש [math]\displaystyle{ \forall i C_i(B)\in N(A) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ C(B)\subseteq N(A) }[/math]
[math]\displaystyle{ rank(B)=dim(C(B))\leq dim(N(A)) \Leftarrow }[/math] ואז
[math]\displaystyle{ rank(B)+rank(A)\leq dim(N(A))+rank(A)=n \Leftarrow }[/math] סתירה לנתון.