88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8
העתקות לינאריות (ה"ל)
הגדרה: יהיו שני מ"ו מעל אותו שדה
. ה"ל היא פונקציה
אם
(או באופן שקול: אם לכל מתקיים
)
תכונות בסיסיות:
.1
.2
דוגמאות
1. יהיו שניהם מעל
. תהא
אזי העתקה
המוגדרת
היא ה"ל.
הוכחה: לכל מתקיים
2. שניהם מעל
. אזי העתקה
המגודרת
היא ה"ל.
הוכחה: לכל
3. שניהם מעל
. אזי העתקה
המגודרת
היא ה"ל.
הוכחה:
4. העתקת הזהות המוגדרת
היא ה"ל.
5. העתקת האפס המוגדרת
היא ה"ל.
6. יהי מ"ו מעל
מימד
ויהי
בסיס אזי הפונקציה
המוגדרת
היא ה"ל.
תרגיל
יהיו שתי ה"ל.
בסיס ל
. נניח
לכל
הוכח: . כלומר לכל
מתקיים
הוכחה: יהי אזי
כי
בסיס ובפרט פורשת.
ואז
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(v)=T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}) = \\ = \alpha_{1}S(v_{1})+\alpha_{2}S(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}S(v_{n})=S(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=S(v)