מד"ר - משוואות דיפרנציאליות רגילות - ארז שיינר
מתוך Math-Wiki
תוכן עניינים
הרצאה 1 הקדמה
- משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה.
- בחקירת פונקציות, במציאת תחומי עלייה וירידה, אנו פותרים את המשוואה
. האם זו משוואה דיפרנציאלית?
- לא, כיוון שבמשוואות דיפרנציאלית אנו מחפשים פונקציה שמקיימת את המשוואה לכל ערך של המשתנה.
- כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה.
נפילה חופשית
- גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה
.
- נסמן ב
את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ)
היא המהירות
היא התאוצה.
- לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה
, הרי התאוצה קבועה.
- לכן
- לכן
- כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה.
- נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן
ולכן
- נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן
ולכן גם
.
ריבית דריבית
- נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה
.
- נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי
.
- אבל מה היה קורה אילו הבנק היה משלם את הריבית פעם בחצי שנה?
- בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית
- ובחצי השנה השנייה נקבל מחצית מהריבית, אך סכום הקרן שלנו כבר גדל
- סה"כ
- בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית
- זה גדול יותר מהריבית השנתית, כיוון שצברנו ריבית על הקרן וגם על הריבית החצי שנתית.
- האם יש דרך להפוך את התהליך לרציף?
- כלומר, בהנתן שתי נקודות זמן קרובות אנו מעוניינים לקבל את הריבית היחסית על הזמן שעבר:
- נעביר אגף ונחלק
- אם נשאיף
נקבל כי
- כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית
כאשר
היא הריבית השנתית.
המשוואה ![y'=r\cdot y](/images/math/1/f/b/1fb26e2b70e99e1416c60408e52568c3.png)
- בהמשך הקורס נעסוק בשאלה האם למשוואה דיפרנציאלית יש פתרון, וכמה פתרונות יש למשוואה.
- מידי פעם נחזור ונפתור את המשוואה הזו בכלים שונים.
- כעת נשים לב כי:
- כיוון שהנגזרת שווה אפס הפונקציה קבועה
- סה"כ
- על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0.