מד"ר - משוואות דיפרנציאליות רגילות - ארז שיינר

מתוך Math-Wiki

הרצאה 1 הקדמה

  • משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה.
  • בחקירת פונקציות, במציאת תחומי עלייה וירידה, אנו פותרים את המשוואה [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math]. האם זו משוואה דיפרנציאלית?
  • לא, כיוון שבמשוואות דיפרנציאלית אנו מחפשים פונקציה שמקיימת את המשוואה לכל ערך של המשתנה.
  • כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה.


נפילה חופשית

  • גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה [math]\displaystyle{ g=9.82 }[/math].
  • נסמן ב[math]\displaystyle{ y(t) }[/math] את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ)
  • [math]\displaystyle{ v(t)=y'(t) }[/math] היא המהירות
  • [math]\displaystyle{ a(t)=v'(t)=y''(t) }[/math] היא התאוצה.
  • לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה [math]\displaystyle{ a(t)=g }[/math], הרי התאוצה קבועה.


  • [math]\displaystyle{ y''(t)=g }[/math]
  • לכן [math]\displaystyle{ y'(t)=gt+c_1 }[/math]
  • לכן [math]\displaystyle{ y(t)=\frac{g}{2}t^2+c_1t+c_2 }[/math]


  • כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה.
  • נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן [math]\displaystyle{ y(0)=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ c_2=0 }[/math]
  • נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן [math]\displaystyle{ y'(0)=0 }[/math] ולכן גם [math]\displaystyle{ c_2=0 }[/math].


ריבית דריבית

  • נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה [math]\displaystyle{ y(t) }[/math].
  • נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי [math]\displaystyle{ y(1)=y(0)+0.02\cdot y(0) }[/math].
  • אבל מה היה קורה אילו הבנק היה משלם את הריבית פעם בחצי שנה?
    • בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית [math]\displaystyle{ y(\frac{1}{2})=y(0)+\frac{1}{2}\cdot 0.02\cdot y(0) }[/math]
    • ובחצי השנה השנייה נקבל מחצית מהריבית, אך סכום הקרן שלנו כבר גדל [math]\displaystyle{ y(1)=y(\frac{1}{2})+\frac{1}{2}\cdot 0.02 \cdot y(\frac{1}{2}) }[/math]
    • סה"כ [math]\displaystyle{ y(1)=(1.01)^2\cdot y(0) }[/math]
  • זה גדול יותר מהריבית השנתית, כיוון שצברנו ריבית על הקרן וגם על הריבית החצי שנתית.
  • האם יש דרך להפוך את התהליך לרציף?
  • כלומר, בהנתן שתי נקודות זמן קרובות אנו מעוניינים לקבל את הריבית היחסית על הזמן שעבר:
    • [math]\displaystyle{ y(t_2)=y(t_1)+(t_2-t_1)\cdot 0.02 \cdot y(t_1) }[/math]
    • נעביר אגף ונחלק [math]\displaystyle{ \frac{y(t_2)-y(t_1)}{t_2-t_2}=0.02\cdot y(t_1) }[/math]
  • אם נשאיף [math]\displaystyle{ t_2\to t_1 }[/math] נקבל כי [math]\displaystyle{ y'(t_1)=0.02\cdot y(t_1) }[/math]
  • כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית [math]\displaystyle{ y'=r\cdot y }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ r }[/math] היא הריבית השנתית.


המשוואה [math]\displaystyle{ y'=r\cdot y }[/math]

  • בהמשך הקורס נעסוק בשאלה האם למשוואה דיפרנציאלית יש פתרון, וכמה פתרונות יש למשוואה.
  • מידי פעם נחזור ונפתור את המשוואה הזו בכלים שונים.
  • כעת נשים לב כי:
  • [math]\displaystyle{ y'-ry=0 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ e^{-rt}(y'-ry)=0 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ (e^{-rt}y)'=0 }[/math]
  • כיוון שהנגזרת שווה אפס הפונקציה קבועה [math]\displaystyle{ e^{-rt}y=C }[/math]
  • סה"כ [math]\displaystyle{ y=Ce^{rt} }[/math]


  • על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0.
  • שימו לב שלכל תנאי התחלה קיבלנו פתרון יחיד.