מד"ר - משוואות דיפרנציאליות רגילות - ארז שיינר

הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה

משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה.
בחקירת פונקציות, במציאת תחומי עלייה וירידה, אנו פותרים את המשוואה [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math]. האם זו משוואה דיפרנציאלית?
לא, כיוון שבמשוואות דיפרנציאלית אנו מחפשים פונקציה שמקיימת את המשוואה לכל ערך של המשתנה.
כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה.

נפילה חופשית

גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה [math]\displaystyle{ g=9.82 }[/math].
נסמן ב[math]\displaystyle{ y(t) }[/math] את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ)
[math]\displaystyle{ v(t)=y'(t) }[/math] היא המהירות
[math]\displaystyle{ a(t)=v'(t)=y''(t) }[/math] היא התאוצה.
לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה [math]\displaystyle{ a(t)=g }[/math], הרי התאוצה קבועה.

[math]\displaystyle{ y''(t)=g }[/math]
לכן [math]\displaystyle{ y'(t)=gt+c_1 }[/math]
לכן [math]\displaystyle{ y(t)=\frac{g}{2}t^2+c_1t+c_2 }[/math]

כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה.
נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן [math]\displaystyle{ y(0)=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ c_2=0 }[/math]
נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן [math]\displaystyle{ y'(0)=0 }[/math] ולכן גם [math]\displaystyle{ c_2=0 }[/math].

ריבית דריבית

נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה [math]\displaystyle{ y(t) }[/math].
נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי [math]\displaystyle{ y(1)=y(0)+0.02\cdot y(0) }[/math].
אבל מה היה קורה אילו הבנק היה משלם את הריבית פעם בחצי שנה?
- בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית [math]\displaystyle{ y(\frac{1}{2})=y(0)+\frac{1}{2}\cdot 0.02\cdot y(0) }[/math]
- ובחצי השנה השנייה נקבל מחצית מהריבית, אך סכום הקרן שלנו כבר גדל [math]\displaystyle{ y(1)=y(\frac{1}{2})+\frac{1}{2}\cdot 0.02 \cdot y(\frac{1}{2}) }[/math]
- סה"כ [math]\displaystyle{ y(1)=(1.01)^2\cdot y(0) }[/math]
זה גדול יותר מהריבית השנתית, כיוון שצברנו ריבית על הקרן וגם על הריבית החצי שנתית.
האם יש דרך להפוך את התהליך לרציף?
כלומר, בהנתן שתי נקודות זמן קרובות אנו מעוניינים לקבל את הריבית היחסית על הזמן שעבר:
- [math]\displaystyle{ y(t_2)=y(t_1)+(t_2-t_1)\cdot 0.02 \cdot y(t_1) }[/math]
- נעביר אגף ונחלק [math]\displaystyle{ \frac{y(t_2)-y(t_1)}{t_2-t_2}=0.02\cdot y(t_1) }[/math]
אם נשאיף [math]\displaystyle{ t_2\to t_1 }[/math] נקבל כי [math]\displaystyle{ y'(t_1)=0.02\cdot y(t_1) }[/math]
כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית [math]\displaystyle{ y'=r\cdot y }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ r }[/math] היא הריבית השנתית.

המשוואה [math]\displaystyle{ y'=r\cdot y }[/math]

בהמשך הקורס נעסוק בשאלה האם למשוואה דיפרנציאלית יש פתרון, וכמה פתרונות יש למשוואה.
מידי פעם נחזור ונפתור את המשוואה הזו בכלים שונים.
כעת נשים לב כי:
[math]\displaystyle{ y'-ry=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ e^{-rt}(y'-ry)=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ (e^{-rt}y)'=0 }[/math]
כיוון שהנגזרת שווה אפס הפונקציה קבועה [math]\displaystyle{ e^{-rt}y=C }[/math]
סה"כ [math]\displaystyle{ y=Ce^{rt} }[/math]

על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0.
שימו לב שלכל תנאי התחלה קיבלנו פתרון יחיד.

סדר ומעלה

משוואה דיפרנציאלית נקראת מסדר n אם הנגזרת הגבוהה ביותר היא מסדר n.
- המשוואה [math]\displaystyle{ y''=g }[/math] היא משוואה מסדר שני.
- המשוואה [math]\displaystyle{ y'=ry }[/math] היא משוואה מסדר ראשון.
משוואה דיפרנציאלית נקראת ממעלה n אם הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר היא ממעלה n.
- המשוואה [math]\displaystyle{ (y''')^2+(y')^5=y+sin(t) }[/math] היא מסדר 3 ומעלה 2.

משוואות פרידות

משוואה דיפרנציאלית נקראת פרידה אם היא מהצורה [math]\displaystyle{ y'=f(y)g(x) }[/math].
נהוג גם להחליף [math]\displaystyle{ y'=\frac{dy}{dx} }[/math] ולכן המשוואה תרשם כך [math]\displaystyle{ dy=f(y)g(x)dx }[/math].
לבסוף, אם נזהר עם חלוקה באפס, משוואה פרידה באופן כללי יכולה להיות מהצורה [math]\displaystyle{ f(y)g(x)dy +h(y)r(x)dx=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ y'=-\frac{h(y)r(x)}{f(y)g(x)} }[/math].

משוואות פרידות אנו יכולים לפתור באמצעות אינטגרלים באופן הבא:
ראשית נפריד (ומכאן השם) את המשתנים לשני צידי המשוואה:
[math]\displaystyle{ f(y)y'=g(x) }[/math]
הקדומות של שני הצדדים שוות עד כדי קבוע.
[math]\displaystyle{ \int f(y)y'dx=\{t=y(x),dt=y'dx\}=\int f(t)dt }[/math]
במקום t נשאר עם המשתנה y ובעצם אנו מחשבים אינטגרלים לשני הצדדים [math]\displaystyle{ f(y)dy=g(x)dx }[/math], כל אחד לפי המשתנה שלו!

לדוגמא נפתור את המשוואה [math]\displaystyle{ y'=r\cdot y }[/math] כמשוואה פרידה.
ראשית נפריד את המשתנים ונקבל כי [math]\displaystyle{ \frac{1}{y}dy=rdx }[/math].
נשים לב כי הנחנו כאן כי [math]\displaystyle{ y=\neq 0 }[/math].
כעת [math]\displaystyle{ \int \frac{1}{y}dy=ln|y| }[/math].
[math]\displaystyle{ \int rdx=rx }[/math].
וביחד [math]\displaystyle{ ln|y|=rx+C }[/math].
לכן [math]\displaystyle{ |y|=e^{rx+C}=e^C\cdot e^{rx} }[/math].
לכן [math]\displaystyle{ y=\pm e^C\cdot e^{rx} }[/math].
כעת, קל לראות מהצבה במשוואה כי y=0 גם פותר את המשוואה.
בסה"כ הפתרון הכללי הוא (שוב) [math]\displaystyle{ y=Ce^{rx} }[/math].

שימו לב - חלקנו למקרים בהם הפונקציה שונה מאפס או קבועה אפס, אך לא טיפלנו במקרים בהם הפונקציה מידי פעם שווה אפס.
בתרגיל זה איננו צריכים, כי מצאנו את הפתרון הכללי בדרך פשוטה יותר למעלה.
בהמשך, משפט הקיום והיחידות יעזור לנו להתמודד עם השאלה הזו, אך באופן כללי לא נעסוק הרבה במקרי קצה בקורס זה.

הפיכת משוואה לפרידה

נביט במשוואה [math]\displaystyle{ y'=(x+y)^2 }[/math] שאינה משוואה פרידה.
נדגים עכשיו טריק שיהפוך את המשוואה לפרידה.
נגדיר את הפונקציה [math]\displaystyle{ z=x+y }[/math].
מתקיים כי [math]\displaystyle{ z'=1+y' }[/math] וביחד המשוואה המקורית מקבלת את הצורה [math]\displaystyle{ z'-1=z^2 }[/math].
זוהי משוואה פרידה [math]\displaystyle{ \frac{1}{1+z^2}dz=dx }[/math].
נפעיל אינטגרל על שני הצדדים ונקבל כי [math]\displaystyle{ \arctan(z)=x+C }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ z=\tan(x+C) }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ x+y=\tan(x+C) }[/math]
[math]\displaystyle{ y=\tan(x+C)-x }[/math]

שימו לב לדוגמא, כאן לא התייחסנו למקרה הקצה בו [math]\displaystyle{ x+C }[/math] מחוץ לתחום [math]\displaystyle{ (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) }[/math].
שיטה אחת לוודא שהפתרון שלנו אכן נכון היא להציב את התוצאה שקיבלנו ישירות במשוואה.
על מנת לדעת אם לא פספסנו פתרונות אחרים, נעזר בהמשך במשפט הקיום והיחידות.
אבל כאמור - אנחנו לא נתייחס באופן כזה לכל מקרה קצה בהמשך הקורס.

הרצאה 2 מד"ר הומוגנית, מד"ר לינאריות מסדר ראשון ומשוואת ברנולי

מד"ר הומוגנית

פונקציה [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] נקראת הומוגנית מסדר k אם לכל [math]\displaystyle{ \lambda\neq 0 }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^k f(x,y) }[/math].
לדוגמא [math]\displaystyle{ f(x,y)=\frac{x^2+xy}{x+y} }[/math] הומוגנית מסדר 1.

טענה: פונקציה [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] היא מהצורה [math]\displaystyle{ \varphi(\frac{y}{x}) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\neq 0 }[/math] אם"ם היא הומוגנית מסדר [math]\displaystyle{ 0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\neq 0 }[/math].
הוכחה:
- אם [math]\displaystyle{ f(x,y)=\varphi(\frac{y}{x}) }[/math] אזי לכל [math]\displaystyle{ x\neq 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(\lambda x,\lambda y)=\varphi(\frac{\lambda y}{\lambda x})=\varphi(\frac{y}{x})=\lambda^0 f(x,y) }[/math].
- אם [math]\displaystyle{ f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y) }[/math], נציב [math]\displaystyle{ \lambda=\frac{1}{x} }[/math] ונקבל כי [math]\displaystyle{ f(x,y)=f(1,\frac{y}{x})=\varphi(\frac{y}{x}) }[/math].

מד"ר הומוגנית (בניגוד למד"ר לינארית הומוגנית שנראה בהמשך) היא משוואה מהצורה [math]\displaystyle{ y'=f(x,y) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] הומוגנית מסדר [math]\displaystyle{ 0 }[/math].
נפתור מד"ר הומוגנית באמצעות ההצבה [math]\displaystyle{ z=\frac{y}{x} }[/math] באופן הבא:
- ראשית נסמן [math]\displaystyle{ y'=\varphi(\frac{y}{x}) }[/math].
- כעת נגזור את שני צידי המשוואה [math]\displaystyle{ zx=y }[/math], ונקבל כי [math]\displaystyle{ z'x+z=y' }[/math].
- לכן לאחר החלפת המשתנה קיבלנו משוואה פרידה [math]\displaystyle{ z'x+z=\varphi(z) }[/math].
- נפריד את המשתנים [math]\displaystyle{ \frac{1}{\varphi(z)-z}dz=\frac{1}{x}dx }[/math].
- ולכן [math]\displaystyle{ \int \frac{1}{\varphi(z)-z}dz=\ln|x|+C }[/math].
- נמצא את [math]\displaystyle{ z }[/math] ונציב בחזרה [math]\displaystyle{ y=zx }[/math].

דוגמא - נפתור את המשוואה [math]\displaystyle{ y'=\frac{x^2+y^2}{xy} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \varphi(\frac{y}{x})=f(1,\frac{y}{x})=\frac{1+(\frac{y}{x})^2}{\frac{y}{x}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int \frac{1}{\varphi(z)-z}dz=\int \frac{1}{\frac{1+z^2}{z}-z}dz=\int z dz=\frac{z^2}{2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{z^2}{2}=ln|x|+C }[/math]
- [math]\displaystyle{ z=\pm\sqrt{ln(x^2)+C} }[/math]
- ולבסוף [math]\displaystyle{ y=\pm x\sqrt{ln(x^2)+C} }[/math]

דוגמא - נפתור את המשוואה [math]\displaystyle{ xdy-\left(x\cdot\sin^2(\frac{y}{x})+y\right)dx=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ y'=\frac{x\cdot\cos^2(\frac{y}{x})+y}{x} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \varphi(\frac{y}{x})=f(1,\frac{y}{x})=\cos^2(\frac{y}{x})+\frac{y}{x} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int \frac{1}{\varphi(z)-z}dz=\int \frac{1}{\cos^2(z)}dz=\tan(z) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \tan(z)=\ln|x|+c }[/math]
- [math]\displaystyle{ z=\arctan(ln|x|+C) }[/math]
- [math]\displaystyle{ y=x\cdot \arctan(ln|x|+C) }[/math]

מד"ר לינארית מסדר ראשון

הגדרה: משוואה מסדר ראשון נקראת לינארית אם היא מהצורה [math]\displaystyle{ y'+p(x)\cdot y=q(x) }[/math].
מד"ר לינארית הומוגנית (בניגוד למד"ר הומוגנית שראינו לעיל) היא מהצורה [math]\displaystyle{ y'+p(x)\cdot y=0 }[/math].
נחשב נוסחא לפתרון מד"ר לינארית כללית ע"י מציאת פתרון למשוואה לינארית הומוגנית ובאמצעות שיטת וריאצית המקדמים.

נשים לב כי המשוואה הלינארית ההומוגנית [math]\displaystyle{ y'+p(x)\cdot y=0 }[/math] היא פרידה.
נפריד את המשתנים ונקבל [math]\displaystyle{ \frac{1}{y}dy=-p(x)dx }[/math].
נבצע אינטגרציה ונקבל כי [math]\displaystyle{ ln|y|=-\int p(x)dx +C }[/math].
ולכן [math]\displaystyle{ y=C\cdot e^{-\int p(x)dx} }[/math]

כעת נשתמש בשיטת וריאצית המקדמים על מנת לפתור את המד"ר הלא הומוגנית.
נציב במקום המקדם הקבוע [math]\displaystyle{ C }[/math] פונקציה [math]\displaystyle{ C(x) }[/math], וננחש שזה פתרון של המד"ר.
כיוון שאנו מנחשים שזה פתרון של המד"ר, נציב אותו בתוך המשוואה ונמצא (בתקווה) פונקציה [math]\displaystyle{ C(x) }[/math] כך שהמשוואה תתקיים.

כלומר, נציב [math]\displaystyle{ y=C(x)\cdot e^{-\int p(x)dx} }[/math] במשוואה [math]\displaystyle{ y'+p(x)y=q(x) }[/math].
נקבל [math]\displaystyle{ C'(x)\cdot e^{-\int p(x)dx}-p(x)\cdot C(x)\cdot e^{-\int p(x)dx} + p(x)\cdot C(x) \cdot e^{-\int p(x)dx}=q(x) }[/math]
משוואה זו מתקיימת אם"ם [math]\displaystyle{ C'(x)\cdot e^{-\int p(x)dx}=q(x) }[/math].
כלומר [math]\displaystyle{ C'(x)=q(x)\cdot e^{\int p(x)dx} }[/math].
לכן נבחר [math]\displaystyle{ C(x)=\int \left[q(x)\cdot e^{\int p(x)dx}\right]dx+C }[/math]

סה"כ הפתרון הכללי למד"ר הלינארית [math]\displaystyle{ y'+p(x)\cdot y=q(x) }[/math] הוא:

[math]\displaystyle{ e^{-\int p(x)dx}\cdot\left(\int\left(q(x)\cdot e^{\int p(x)dx}\right)+C\right) }[/math]

דוגמא - המשוואה החביבה עלינו [math]\displaystyle{ y'=ry }[/math]:
- ראשית, נשים לב כי [math]\displaystyle{ p(x)=-r }[/math] ו[math]\displaystyle{ q(x)=0 }[/math].
- כלומר זו מד"ר לינארית הומוגנית, והפתרון הכללי הוא [math]\displaystyle{ y=C\cdot e^{-\int (-r)dx}=C\cdot e^{rx} }[/math]

נפילה חופשית עם מצנח

- גוף בעל מסה [math]\displaystyle{ m }[/math] נמצא בנפילה חופשית, מצד אחד הוא מושפע מכוח הכבידה שנחשב קבוע [math]\displaystyle{ m\cdot g }[/math] ומצד שני כוח התנגדות האוויר שנניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה [math]\displaystyle{ b\cdot v }[/math].
- לפי החוק השני של ניוטון [math]\displaystyle{ m\cdot a = gm -b\cdot v }[/math].
- כלומר [math]\displaystyle{ v'=g-\frac{b}{m}v }[/math]
- זו מד"ר לינארית שאינה הומוגנית עם [math]\displaystyle{ p(t)=\frac{b}{m} }[/math] ו[math]\displaystyle{ q(t)=g }[/math].
- לכן הפתרון הכללי למשוואה הוא [math]\displaystyle{ v=e^{-\frac{b}{m}t}\cdot\left(\int\left(g\cdot e^{\frac{b}{m}t}\right)dt+C\right) }[/math]
- לכן [math]\displaystyle{ v=e^{-\frac{b}{m}t}\cdot\left(\frac{gm}{b}e^{\frac{b}{m}t}+C\right) }[/math].
- כלומר [math]\displaystyle{ v=\frac{gm}{b}+C\cdot e^{-\frac{b}{m}t} }[/math].
הערה: נשים לב שכאשר [math]\displaystyle{ t\to\infty }[/math] הפתרון שואף ל[math]\displaystyle{ \frac{g\cdot m}{b} }[/math] שזו מהירות שיווי המשקל. במהירות התחלתית זו [math]\displaystyle{ C=0 }[/math] והגוף יפול במהירות קבועה.

משוואת ברנולי

משוואת ברנולי היא משוואה מהצורה [math]\displaystyle{ y'+p(x)\cdot y = q(x)\cdot y^n }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n\neq 0,1 }[/math].
נפתור את המשוואה על ידי הצבה שתהפוך אותה למשוואה לינארית, אותה כבר למדנו לפתור.
נניח כי [math]\displaystyle{ y\neq 0 }[/math], ונחלק ב[math]\displaystyle{ y^n }[/math].
נקבל את המשוואה [math]\displaystyle{ \frac{y'}{y^n}+p(x)\cdot y^{1-n}=q(x) }[/math].
נציב [math]\displaystyle{ z=y^{1-n} }[/math].
נגזור [math]\displaystyle{ z'=(1-n)\frac{y'}{y^n} }[/math].
לכן המשוואה היא מהצורה [math]\displaystyle{ \frac{z'}{1-n}+p(x)\cdot z = q(x) }[/math].
נפתור עבור [math]\displaystyle{ z }[/math] ונציב חזרה לקבל [math]\displaystyle{ y=z^{\frac{1}{1-n}} }[/math].

דוגמא-