אנליזה מתקדמת למורים תרגול 1

הגדרה

כידוע אין שורש ממשי למספר [math]\displaystyle{ -1 }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ \sqrt{-1}\notin \mathbb{R} }[/math].

בתחילת הקורס נלמד על מבנה מתמטי בו יש שורש ל [math]\displaystyle{ -1 }[/math]: שדה המספרים המרוכבים!

אז מי הם בעצם המספרים המרוכבים? בעצם מה שאנחנו צריכים להגדיר כאן זה שלושה דברים:

1. האיברים עצמם - המספרים המרוכבים.

2. איך לחבר ביניהם.

3. איך להכפיל ביניהם.

נסמן ב [math]\displaystyle{ i }[/math] איבר מסויים, ונגדיר [math]\displaystyle{ i\cdot i=-1 }[/math]. במילים אחרות [math]\displaystyle{ i=\sqrt{-1} }[/math]. המספרים המרוכבים הם כל המספרים מהצורה [math]\displaystyle{ a+bi }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a,b\in \mathbb{R} }[/math]. כלומר, [math]\displaystyle{ \mathbb{C}=\{a+bi|a,b\in \mathbb{R}\} }[/math]. שימו לב שכמובן שהמספרים הממשיים מוכלים במרוכבים, פשוט לוקחים [math]\displaystyle{ b=0 }[/math].

חיבור: [math]\displaystyle{ (a+bi)+(x+yi):=(a+x)+(b+y)i }[/math].

כפל: [math]\displaystyle{ (a+bi)\cdot (x+yi):=(ax-by)+(ay+bx)i }[/math].

לדוגמא: נסמן [math]\displaystyle{ z=5+\frac{1}{3}i,w=2+\frac{2}{3}i }[/math]. נקבל: [math]\displaystyle{ z+w=(5+2)+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})i=7+i }[/math], וכן [math]\displaystyle{ z\cdot w=(5\cdot 2-\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3})+(5\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot 2)i=9\frac{2}{9}+4i }[/math].

חלק ממשי וחלק מדומה

יהי [math]\displaystyle{ z=a+bi\in \mathbb{C} }[/math]. נגדיר את החלק הממשי שלו להיות: [math]\displaystyle{ Re(z)=a }[/math], ואת החלק המדומה שלו להיות [math]\displaystyle{ Im(z)=b }[/math]. שימו לב שגם החלק הממשי וגם החלק המדומה הם מספרים ממשיים!!!

דוגמא: [math]\displaystyle{ Re(\sqrt{2}-\pi i)=\sqrt{2},Im(\sqrt{2}-\pi i)=-\pi }[/math].

שימו לב שמספר מרוכב [math]\displaystyle{ z }[/math] הוא ממשי אם ורק אם [math]\displaystyle{ Im(z)=0 }[/math].

מספר מרוכב [math]\displaystyle{ z }[/math] נקרא מדומה טהור אם [math]\displaystyle{ Re(z)=0 }[/math]. למשל [math]\displaystyle{ 2i }[/math].

נורמה וצמוד

נורמה

במספרים הממשיים יש לנו ערך מוחלט, והוא מוגדר כמרחק של המספר מאפס. נגדיר משהו דומה על המספרים המרוכבים - הנורמה (ויש שקוראים לזה ערך מוחלט). הנורמה זו בעצם פונקציה [math]\displaystyle{ |\cdot |:\mathbb{C}\to \mathbb{R} }[/math] המוגדרת ע"י: [math]\displaystyle{ |z=a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} }[/math]. מאיפה הגיעה הפונקציה הזו? אם נתבונן על המספרים המרוכבים במערכת צירים נוכל לשים לב שהנורמה היא המרחק (האוקלידי) מראשית הצירים. דוגמאות נחמדות כיד המתרגל הטובה עליו.

תכונות הנורמה

1. כפליות: [math]\displaystyle{ \forall z_1,z_2\in \mathbb{C}:|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2| }[/math].

2. אי שליליות: [math]\displaystyle{ \forall z\in \mathbb{C}:|z|\geq 0 }[/math], ומתקיים: [math]\displaystyle{ |z|=0\iff z=0 }[/math].

3. אי שיוויון המשולש: [math]\displaystyle{ \forall z_1,z_2\in \mathbb{C}:|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2| }[/math].

תרגיל

הוכיחו: [math]\displaystyle{ \forall z,w\in \mathbb{C}:|z-w|\geq ||z|-|w|| }[/math].

הערה: זה נקרא אש"מ ההפוך.

פתרון: נסמן [math]\displaystyle{ a=z-w,b=w }[/math]. נשים לב ש [math]\displaystyle{ z=z-w+w=a+b }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ |z|=|a+b| }[/math]. כעת מאי שיוויון המשולש נקבל: [math]\displaystyle{ |z|=|a+b|\leq |a|+|b|=|z-w|+|w| }[/math]. נעביר אגפים לקבל [math]\displaystyle{ |z|-|w|\leq |z-w| }[/math].

בדומה, נסמן [math]\displaystyle{ a=w-z,b=z }[/math]. נשים לב ש [math]\displaystyle{ w=w-z+z=a+b }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ |w|=|a+b| }[/math]. כעת מאי שיוויון המשולש נקבל: [math]\displaystyle{ |w|=|a+b|\leq |a|+|b|=|w-z|+|z|=|z-w|+|z| }[/math]. נעביר אגפים לקבל [math]\displaystyle{ |w|-|z|\leq |z-w| }[/math].

נאחד את שני אי-השיוויונים שקיבלנו ונקבל [math]\displaystyle{ \forall z,w\in \mathbb{C}:|z-w|\geq ||z|-|w|| }[/math].

צמוד

לכל מספר מרוכב [math]\displaystyle{ z=a+bi }[/math] נגדיר את הצמוד המרוכב שלו להיות [math]\displaystyle{ \overline{z}=\overline{a+bi}=a-bi }[/math]. לדוג': [math]\displaystyle{ \overline{\pi-\sqrt{3}i}=\pi +\sqrt{3}i }[/math].

תכונות הצמוד

1. כפליות: [math]\displaystyle{ \forall z,w\in \mathbb{C}:\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w} }[/math].

2. חיבוריות: [math]\displaystyle{ \forall z,w\in \mathbb{C}:\overline{z+ w}=\overline{z}+ \overline{w} }[/math].

3. אותה נורמה: [math]\displaystyle{ \forall z\in \mathbb{C}:|z|=|\overline{z}| }[/math].

תרגיל

הוכיחו שלכל מספר מרוכב [math]\displaystyle{ z }[/math] מתקיים:

1. [math]\displaystyle{ z\cdot \overline{z}=|z|^2 }[/math].

2. [math]\displaystyle{ z+\overline{z}=2Re(z) }[/math].

3. [math]\displaystyle{ z-\overline{z}=2Im(z)i }[/math]

פתרון: נסמן [math]\displaystyle{ z=a+bi }[/math] ונחשב:

[math]\displaystyle{ z\cdot \overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-(-b^2)=a^2+b^2=(\sqrt{a^2+b^2})^2=|z|^2 }[/math].

[math]\displaystyle{ z+\overline{z}=(a+bi)+(a-bi)=2a=2Re(z) }[/math].

[math]\displaystyle{ z-\overline{z}=(a+bi)-(a-bi)2bi=2Im(z)i }[/math]

מציאת הופכי וחילוק

עובדה: לכל מספר מרוכב שונה מאפס קיים הופכי.

ש: איך נמצא את ההופכי?

ת: כמסקנה מהתרגיל האחרון המקשר בן נורמה לצמוד נקבל: [math]\displaystyle{ z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2} }[/math].

תרגיל

מצא את ההופכי של [math]\displaystyle{ 7-4i }[/math].

פתרון: לפי המסקנה נקבל: [math]\displaystyle{ (7-4i)^{-1}=\frac{7+4i}{7^2+(-4)^2}=\frac{7+4i}{65}=\frac{7}{65}+\frac{4}{65} i }[/math].

תרגיל

הצג את הביטוי הבא בצורה [math]\displaystyle{ z=a+bi }[/math] וציין מהם [math]\displaystyle{ Re(z),Im(z),\overline{z},|z| }[/math]. הביטוי הינו: [math]\displaystyle{ \frac{5+2i}{2-3i} }[/math]

פתרון: נכפול בצמוד למכנה למעלה ולמטה [math]\displaystyle{ \frac{(5+2i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)} }[/math].

נעצור לרגע להבין את הפורמליות של מה שאנחנו עושים. הרי [math]\displaystyle{ \frac{5+2i}{2-3i}=(5+2i)(2-3i)^{-1} }[/math] וכעת רשמנו [math]\displaystyle{ (5+2i)(2+3i)[(2-3i)^{-1}(2+3i)^{-1}] }[/math]

לפיכך נקבל:

[math]\displaystyle{ z=\frac{4+19i}{13}=\frac{4}{13}+\frac{19}{13}i }[/math].

[math]\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{4^2+19^2}{13^2}} }[/math].

[math]\displaystyle{ Re(z)=\frac{4}{13},Im(z)=\frac{19}{13} }[/math].

[math]\displaystyle{ \overline{z}=\frac{4}{13}-\frac{19}{13}i }[/math].