דוגמא לחקר התכנסות טור עם פרמטר
תרגיל
קבע עבור אילו ערכי x הטור הבא מתכנס בהחלט/בתנאי/מתבדר:
פתרון
דבר ראשון, נוכיח את הטענות הבאות:
מתכנס בהחלט אם
.
הוכחה:
מתבדר אם
הוכחה:
נסמן , כאשר
. לכן לפי אי שיוויון ברנולי
לכן ולכן
ולכן
ולכן הטור וודאי מתבדר.
כעת, נסמן נותר לבדוק מתי |q| גדול מאחד, קטן מאחד או שווה ממש לאחד.
נפתור את אי השיוויון . קל לראות ש
כאשר
או
. במקרים אלה ניתן להוריד את הערך המוחלט ולפתור את אי השיוויון.
אם אזי
, ורוצים לפתור את אי השיוויון
מותר לכפול ב(x+4) ולכן נקבל x>4. לכן סה"כ הטור מתבדר עבור x>4. עבור x<4 יוצא ש
ולכן הטור מתכנס בהחלט עבור
אם אזי
ולכן נכפול ב(x+4) ונחליף את כיוון אי השיוויון לקבל x<4. ביחד עם x<-4 נקבל שהטור מתבדר עבור x<-4. המקרה x>4 לא רלוונטי לנו במקרה זה.
אם אזי צריך לפתור את אי השיוויון
, שוב x+4 >0 ולכן מותר לכפול בו על מנת לקבל
ולכן
, ולכן עבור
הטור מתבדר. עבור
הטור מתכנס בהחלט.