חוג ריבועי

חוג ריבועי הוא חוג שבו כל איבר מקיים משוואה ממעלה שניה מעל השלמים.

עבור שלם D חופשי מריבועים (כלומר שאין לו מחלק ריבועי), נסמן [math]\displaystyle{ \ {\mathcal{O}}_D = \begin{cases}\mathbb{Z}[\sqrt{D}] & D \equiv 2,3 \pmod{4} \\ \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{D}}{2}] & D \equiv 1 \pmod{4} \end{cases} }[/math]. החוג [math]\displaystyle{ \ \mathcal{O}_D }[/math] הוא "הסגור השלם" של חוג השלמים בשדה [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Q}[\sqrt{D}] }[/math]. כל תחום שלמות ריבועי הוא תת-חוג של חוג מהצורה הזו.

תחומי שלמות ריבועיים הם "מעבדה" לבחינת מושגי היסוד של תחומי שלמות: איברים ראשוניים ואי-פריקים, פריקות יחידה ואידיאלים ראשיים, אוקלידיות וכדומה. חלק מהמושגים האלה דורשים חישוב של חוגי מנה. נדגים זאת בכמה מקרים.

חישוב חוגי מנה

נחשב את [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}[\sqrt{10}]/\langle 4-\sqrt{10}\rangle }[/math]. כדי לוודא שלא תשתחל פנימה טעות בסימן של השורש, נחליף אותו בשם משתנה ונכתוב את החוג המקורי כמנה [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}[t]/\langle t^2-10\rangle }[/math], ואת חוג המנה המבוקש כמנה [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}[t]/\langle t^2-10, 4-t\rangle }[/math]. מכיוון שבחוג המנה הזה t=4, מתברר ש-[math]\displaystyle{ 0 \equiv t^2-10 \equiv 4^2-10 = -6 }[/math], כלומר המנה היא [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_6[t]/\langle t^2-10, 4-t\rangle = \mathbb{Z}_6 }[/math].

נחשב את המנה [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-11}}{2}]/\langle \frac{13+7\sqrt{-11}}{2}\rangle }[/math]. כאן חשוב עוד יותר להחליף שמות ולסמן [math]\displaystyle{ \ x = \frac{1+\sqrt{-11}}{2} }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \ x^2-x+3=0 }[/math]. מכיוון ש-[math]\displaystyle{ \ \frac{13+7\sqrt{-11}}{2} = 3+7x }[/math], אנחנו מחשבים את המנה [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}[x]/\langle x^2-x+3, \ 3+7x\rangle }[/math]. הנורמה של 3+7x היא 177=3*59, ומכיוון שהנורמה היא (כמובן) כפולה של 3+7x, האידיאל מכיל את 177. זה אומר שהמנה שווה ל-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_{177}[x]/\langle x^2-x+3,\ 3+7x\rangle }[/math]! בחוג הזה 7 הוא הפיך, ואפשר לפתור את המשוואה: [math]\displaystyle{ \ 0 \equiv 76(3+7x) = 51+x }[/math], כלומר x=-51. הצבת ערך זה מאפסת (שלא במפתיע) את התנאי הריבועי, ולכן חוג המנה הוא [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_{177} \cong \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_{59} }[/math].