איחוד וחיתוך

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם

מוטיבציה: הגדרנו את החיתוך והאיחוד עבור שתי קבוצות. לעיתים נרצה לחתוך או לאחד יותר קבוצות, לדוגמא נרצה לדבר על חיתוכן של 17 הקבוצות A_1,A_2,\ldots,A_{17}. מכיוון שחיתוך ואיחוד הן פעולות אסוציטיביות, ניתן לרשום A_1\cap A_2\cap \ldots\cap A_{17}, וזה ביטוי חד משמעי. אך צורת רישום זו היא ארוכה, ולכן אנו מסמנים את החיתוך הזה בקיצור הבא: \bigcap _{i=1} ^{17} A_i. לעיתים נרצה לחתוך או לאחד אוסף אינסופי של קבוצות, ולכך באה ההכללה הבאה:

הגדרה: יהיו \{A_i\}_{i\in I} אוסף קבוצות כאשר I הוא קבוצת אינדקסים אזי נגדיר את האיחוד והחיתוך של אוסף הקבוצות כך:

\bigcup _{i\in I} A_i := \{x| \exist i\in I :x\in A_i \}

\bigcap _{i\in I} A_i := \{x| \forall i\in I :x\in A_i \} . כאן יש להניח שקבוצת האינדקסים I לא ריקה.

דוגמא:

נגדיר \forall n\in \mathbb{N}\cup \{0\} \;  A_n:=(n,n+1) \cup (-n-1,-n) אזי

א. \bigcup _{n\in \mathbb{N}} A_n = \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Z}

ב. \bigcap _{n\in \mathbb{N}} A_n = \varnothing

ג. נגדיר B_n=\mathbb{R}\smallsetminus A_n. חשבו את \bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n

הוכחה:

א. ע"י הכלה דו כיוונית.

ב. מספיק להראות A_1\cap A_2=\phi.

ג. נתייחס ל-\mathbb{R} כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:\bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n=\bigcap_{n\in \mathbb{N}} A_n^c=(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n)^c=(\mathbb{Z}^c)^c=\mathbb{Z}.