הבדלים בין גרסאות בדף "אינטגרל לא מסויים/דוגמאות"

גרסה מ־15:32, 5 במאי 2012

תוכן עניינים

1 1
2 2
- 2.1 פתרון
3 3
- 3.1 פתרון
4 4
- 4.1 דרך א'
- 4.2 דרך ב'
5 5
- 5.1 פתרון
6 6
- 6.1 פתרון
7 7
- 7.1 פתרון
8 8
- 8.1 פתרון
9 9
- 9.1 פתרון
10 10
11 11
12 12
- 12.1 פתרון
- 12.2 פתרון (יותר מוצלח כמסתבר)
13 13
- 13.1 פתרון (לא מלא)
14 14

1

$\int \frac{1}{x} dx = ln|x|+c$

2

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}$

פתרון

השלמה לריבוע והצבה ראשונה:

הדבר הראשון שנעשה הוא התהליך של השלמה לריבוע, שבסופו נקבל כי:

$x^{2}-4x-5=(x-2)^{2}-9$

ולכן ההצבה הראשונה שנעשה תהא: $u=x-2$ , וכמובן קל להבין כי $dx=du$ .

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}=\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-9}}$

פונקציות טריגונומטריות היפרבוליות (הערה):

ניעזר בתכונות של $sinh(x)$ ושל $cosh(x)$ :

$(cosh(x))'=sinh(x)=\int cosh(x)dx$

וכן בזהות: $cosh^{2}(x)=sinh^{2}(x)+1$

הצבה שנייה:

נציב: $u=3cosh(t)\Rightarrow du=3sinh(t)dt$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}=\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-9}}=\int \frac{3sinh(t)dt}{\sqrt{9cosh^{2}(t)-9}}=\int \frac{3sinh(t)dt}{3sinh(t)}=\int dt=t+C$

ולהחזיר את t לx, אני משאיר לכם (:

3

האינטגרל הבא לקוח מספר התרגילים של בועז צבאן (1.24, אם אינני טועה)

$\int \frac{sin^{2}(x)}{cos^{6}(x)}dx$

פתרון

$\int \frac{sin^{2}(x)}{cos^{6}(x)}dx=\begin{Bmatrix} t=tanx\\ dt=\frac{dx}{cos^{2}(x)} \end{Bmatrix} =\begin{Bmatrix} sin^{2}x=\frac{t^{2}}{t^{2}+1}\\ cos^{2}x=\frac{1}{t^{2}+1} \end{Bmatrix} =\int \frac{\frac{t^{2}}{t^{2}+1}}{\frac{1}{(t^2+1)^{2}}}dt=$

$\int \frac{sin^{2}(x)}{cos^{6}(x)}dx =\int \frac{\frac{t^{2}}{t^{2}+1}}{\frac{1}{(t^2+1)^{2}}}dt=\int t^{2}(t^{2}+1)dt=\cdots =\frac{t^{5}}{5}+\frac{t^{3}}{3}+c$

יש טעות בהצבה של

cos^{2}x

, שכן

cos^{6}x=(cos^{2}x)^3=\frac{1}{(t^2+1)^3}

אבל צריך לקחת בחשבון גם את הdt

צודק. נראה לי שאם אני לא ראיתי את זה, גם אחרים לא יראו ;)

4

בדומה לאינטגרל הקודם, לקוח מבועז צבאן (1.27)

$\int \sqrt{2-x-x^{2}}dx$

דרך א'

א. ניתן להשתמש בהצבת אוילר, אבל אנחנו ננקוט בטקטיקה שונה.

$\int \sqrt{2-x-x^{2}}dx=\int \sqrt{1.5^{2}-(x+0.5)^{2}}dx=\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du$

הצבה ראשונה: $u=x+0.5\Rightarrow dx=du$

הצבה שנייה: $u=1.5sint\Rightarrow du=1.5costdt$

ואם נחזור לחישוב האינטגרל,

$\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=\int 1.5\sqrt{1-sin^{2}(t)} \cdot 1.5cos(t)dt=2.25\int cos^{2}(t)dt=2.25\int\frac{cos2t-1}{2}dt=2.25(\frac{sin2t}{4}-\frac{t}{2})+c$

ומכאן מעבירים את t לx.

דרך ב'

ההצבה הראשונה נשארת כפי שהייתה, אך הפעם לא נעשה הצבה שניה אלא נשתמש באינטגרציה בחלקים:

$\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=\int (u)'\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=u\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}+\int \frac{u^{2}du}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}$

כעת נוכל להבחין כי מתקיים:

$\int \frac{u^{2}du}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}=\int \frac{u^{2}-1.5^{2}+1.5^{2}}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}du=\int\frac{1.5^{2}}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}du-\int\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du$

כעת נביט רק על האינטגרל הראשון ונציב: $1.5v=u$

$\int\frac{1.5^{2}}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}du=1.5^{2}\int \frac{1.5dv}{1.5\sqrt{1-v^{2}}}=1.5^{2}arcsin(v)=2.25arcsin(\frac{2u}{3})+c$

אם נחזור לאינטגרל המקורי נקבל:

$\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=u\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}+2.25arcsin(\frac{2u}{3})-\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du$

$2\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=u\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}+2.25arcsin(\frac{2u}{3})+c$

וסיימנו (:

5

אינטגרל חביב שנלקח ממבחן בחדו"א בב"ג (של מדעי המחשב)

$\int \frac{dx}{x+\sqrt[n]{x}}$ כאשר $n\in\mathbb{N}$ .

פתרון

הכוונה היא עבור n>1, עבור n=1 תסתכלו בדוגמא הראשונה.

$\int \frac{dx}{x+\sqrt [n]{x}}=\begin{Bmatrix} t^{n}=x\\ nt^{n-1}dt=dx \end{Bmatrix} =\int \frac{nt^{n-1}}{t^{n}+t}dt=n\int \frac{t^{n-2}}{t^{n-1}+1}dt= \begin{Bmatrix} k=t^{n-1}+1\\ dk=(n-1)t^{n-2}dt \end{Bmatrix}=$

$\int \frac{dx}{x+\sqrt [n]{x}}=\frac{n}{n-1}\int \frac{dk}{k}=\frac{n}{n-1}ln|k|+c= \frac{n}{n-1}ln|x^{\frac {n-1}{n}}+1|+c$

6

$\int \frac{arctan(e^{x})}{e^{x}}dx$

פתרון

ניעזר באינטגרציה בחלקים.

$\int \frac{arctan(e^{x})}{e^{x}}dx=\int arctan(e^{x})e^{-x}dx=\begin{Bmatrix} du=e^{-x}dx\Rightarrow u=-e^{-x}\\ v=arctan(e^{x})\Rightarrow dv=\frac{e^{x}dx}{1+e^{2x}} \end{Bmatrix} =-e^{-x}arctan(e^{x})+\int\frac{dx}{1+e^{2x}}$

פתאום זה נראה יותר אנושי, כעת נסתכל על האינטגרל שנותר:

$\int\frac{dx}{1+e^{2x}}=\begin{Bmatrix} t=e^{2x}\\ dt=2tdx \end{Bmatrix}= \int \frac{dt}{2t(1+t)}=\int \frac{dt}{2t}-\int \frac{dt}{2t+2}=0.5(ln|2t|-ln|2t+2|+c)=0.5ln(2e^{2x})-0.5ln(2e^{2x}+2)+c$

כל שנותר הוא לאחד את התוצאות, ולקבל את התוצאה הסופית.

7

$\int \frac{\sqrt{x^{2}-16}}{x}dx$

פתרון

נעשה את ההצבה הבאה: $x=\frac{4}{cosu}\Rightarrow dx=\frac{4sinu}{cos^{2}u}du$

$\int \frac{\sqrt{x^{2}-16}}{x}dx=\int \frac{\sqrt{\frac{16}{cos^{2}u}-16}}{\frac{4}{cosu}}\cdot \frac{4sinu}{cos^{2}u}du=\int 4tan^{2}udu=\int (4tan^{2}+4-4)udu=4tanu-4u+c$

תחזירו לx לבד, בכל מקרה אני עצלן ואף אחד לא יקרא את זה!

8

אחד קליל מהחוברת של בועז (:,

$\int \frac{dx}{x}ln\frac{1}{x}$

פתרון

$\int \frac{dx}{x}ln\frac{1}{x}=-\int \frac{lnx}{x}dx= -\frac{ln^{2}x}{2}+c$

9

$\int \frac{arcsinx}{x^{2}}dx$

פתרון

ראשית נפעיל אינטגרציה בחלקים כאשר: $v=arcsinx,du=\frac{dx}{x^{2}}$

$\int \frac{arcsinx}{x^{2}}dx=-\frac{arcsinx}{x}+\int \frac{dx}{x\sqrt{1-x^{2}}}$

כעת נחשב את האינטגרל השני שקיבלנו:

$\int \frac{dx}{x\sqrt{1-x^{2}}}=\begin{Bmatrix} x=cosu\\ dx=sinudu \end{Bmatrix}= \int \frac{sinu}{cosu\sqrt{1-cos^{2}u}}du=\int \frac{du}{cosu}=$

וכעת ניעזר בהצבה האוניברסלית כדי למצוא את האינטגרל החדש:

$\int \frac{du}{cosu}=\int \frac{2}{1+t^{2}}\cdot \frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}dt=\int \frac{2dt}{(1+t)(1-t)}=\int\frac{dt}{1-t}+\frac{dt}{1+t}=ln|1+t|-ln|1-t|+c=ln\frac{1+t}{1-t}+c$

כרגיל להחזיר ולהנות (:

10

$\int x^2\sqrt{a^2-x^2}dx$

הצבה $x=asin(t)$

11

$\int x^2\sqrt{a^2+x^2}dx$

הצבה היפרבולית $x=asinh(t)$ .

נוסחאות לפונקציות היפרבוליות

12

$\int \frac{sinx\cdot cosx}{\sqrt{asin^{2}x+bcos^{2}x}}dx$

פתרון

$\int \frac{sinx\cdot cosx}{\sqrt{asin^{2}x+bcos^{2}x}}dx=\int\frac{sinx\cdot cosx}{\sqrt{(a-b)sin^{2}x+b}}dx=\begin{Bmatrix} t=sinx\\ dt=cosxdx \end{Bmatrix}= \int \frac{tdt}{\sqrt{(a-b)t^{2}+b}}=\begin{Bmatrix} u=(a-b)t^{2}+b\\ du=2(a-b)tdt \end{Bmatrix}=$

$\frac{1}{2a-2b}\int\frac{du}{\sqrt{u}}=\frac{1}{a-b}\sqrt{u}+c=\frac{1}{a-b}\sqrt{(a-b)t^{2}+b}+c=\frac{1}{a-b}\sqrt{(a-b)sin^{2}x+b}+c$

פתרון (יותר מוצלח כמסתבר)

להציב $t=asin^{2}x+bcos^{2}x$

13

$\int \sqrt {\tan ^2(x)+2} dx$

פתרון (לא מלא)

זה לקח לי שני עמודים בכתב יד, זה נורא (אני בטוח שיש פתרון יותר חכם)

הצבה 1: $t=tanx$

הצבה 2: $t=\sqrt{2}sinhu$

אח"כ צריך לשחק עם מה שמקבלים (לפי תכונות של קוסינוס וסינוס היפרבולי), ואז להעביר את זה לייצוג המקורי.

ואז, הצבה 3: $k=e^{2u}$

מכאן זו פונקציה רצינואלית של ליניארי חלקי פולינום ממעלה 2, זה לא בעיה בהשוואה למה שהלך למעלה.

במקרה הכי גרוע, תהיה הצבה 4.

14

$\int \frac{1}{\sqrt[4]{sin(x)^3cos(x)^5}} dx$

גרסה מ־15:32, 5 במאי 2012 (הצגת מקור) OfirSh (שיחה \| תרומות) (←‏פתרון (לא מלא)) → מעבר להשוואת הגרסאות הקודמת		גרסה מ־15:32, 5 במאי 2012 (הצגת מקור) OfirSh (שיחה \| תרומות) (←‏פתרון (לא מלא)) מעבר להשוואת הגרסאות הבאה ←
שורה 258:		שורה 258:

	ואז, '''הצבה 3:''' <math>k=e^{2u}</math>		ואז, '''הצבה 3:''' <math>k=e^{2u}</math>
		+

	מכאן זו פונקציה רצינואלית של ליניארי חלקי פולינום ממעלה 2, זה לא בעיה בהשוואה למה שהלך למעלה.		מכאן זו פונקציה רצינואלית של ליניארי חלקי פולינום ממעלה 2, זה לא בעיה בהשוואה למה שהלך למעלה.

הבדלים בין גרסאות בדף "אינטגרל לא מסויים/דוגמאות"

גרסה מ־15:32, 5 במאי 2012

תוכן עניינים

1

2

פתרון

3

פתרון

4

דרך א'

דרך ב'

5

פתרון

6

פתרון

7

פתרון

8

פתרון

9

פתרון

10

11

12

פתרון

פתרון (יותר מוצלח כמסתבר)

13

פתרון (לא מלא)

14

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים