אינטגרציה בחלקים

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הגדרה

אינטגרציה בחלקים הוא כינוי לנוסחת האינטגרציה הבאה:

\int{f'\cdot g}=f\cdot g-\int{f\cdot g'}

הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל:

(f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f

הנוסחא נכונה במידה והאינטגרלים מוגדרים, ובפרט עבור f,g בעלות נגזרות רציפות.

(אחרת, אמנם יש קדומה ל- f'\cdot g+g'\cdot f , אבל לא בהכרח ל- f'\cdot g ו- g'\cdot f בנפרד.)

דוגמאות

א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.

\int x\cos(x)dx=?

נסמן f'=\cos(x)\ ,\ g=x

ולכן f=\sin(x)\ ,\ g'=1

לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים

\int x\cos(x)dx=x\sin(x)-\int\sin(x)dx=x\sin(x)+\cos(x)+C


ב. חזרה למקורות - בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם חזרה לאינטגרל המקורי פותרת לנו את הבעיה.

\int e^x\cos(x)dx=?

נסמן I=\int e^x\cos(x)dx

לכן

I=e^x\cos(x)+\int e^x\sin(x)dx=e^x\cos(x)+e^x\sin(x)-\int e^x\cos(x)dx=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)-I

ולכן

2I=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)

ומכאן יוצא

\int e^x\cos(x)dx=I=\frac{e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)}{2}+C

ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע 1 כנגזרת של הפונקציה x ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים.

\int\sqrt{a^2-x^2}dx=?

נסמן f'=1\ ,\ g=\sqrt{a^2-x^2}

ולכן f=x\ ,\ g'=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}

נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים:

\int\sqrt{a^2-x^2}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+\int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=
=x\sqrt{a^2-x^2}+\int\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=
=x\sqrt{a^2-x^2}-\int\sqrt{a^2-x^2}dx+a^2\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=


ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת

2\int\sqrt{a^2-x^2}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}

כאשר את האינטגרל האחרון נלמד בשיטת ההצבה.