הבדלים בין גרסאות בדף "אינטגרציה בחלקים"

מתוך Math-Wiki

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

גרסה מ־18:58, 20 ביולי 2016

הגדרה

אינטגרציה בחלקים הוא כינוי לנוסחת האינטגרציה הבאה:

\int{f'\cdot g}=f\cdot g-\int{f\cdot g'}

הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל:

(f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f

הנוסחא נכונה במידה והאינטגרלים מוגדרים, ובפרט עבור f וg בעלות נגזרות רציפות.

(אחרת, אמנם יש קדומה ל $f'\cdot g+g'\cdot f$ , אבל לא בהכרח ל $f'\cdot g$ ו $g'\cdot f$ בנפרד.)

דוגמאות

א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.

$\int{x\cdot\cos(x)}=?$

נסמן $f'=\cos(x)\ ,\ g=x$

ולכן $f=\sin(x)\ ,\ g'=1$

לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים

\int{x\cdot\cos(x)}=x\cdot\sin(x)-\int{\sin(x)}=x\cdot\sin(x)+\cos(x)+C

.

ב. בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם עדיין ניתן להעזר באינטגרציה בחלקים לפתרון הבעיה.

$\int{e^x\cdot\cos(x)}=?$

נסמן $I=\int{e^x\cdot\cos(x)}$

לכן

I=e^x\cdot\cos(x)+\int{e^x\cdot\sin(x)}=e^x\cdot\cos(x)+e^x\cdot\sin(x)-\int{e^x\cdot\cos(x)}=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)-I

ולכן

2I=e^x\big(sin(x)+\cos(x)\big)

ומכאן יוצא

\int{e^x\cdot\cos(x)}=I=\frac{e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)}{2}+C

.

ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע $1$ כנגזרת של הפונקציה $x$ ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים.

$\int{\sqrt{a^2-x^2}}=?$

נסמן $f'=1\ ,\ g=\sqrt{a^2-x^2}$

ולכן $f=x\ ,\ g'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}$

נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים:

\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=

=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=

=x\sqrt{a^2-x^2}-\int{\sqrt{a^2-x^2}}+a^2\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}}=

ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת

2\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}}

כאשר את האינטגרל האחרון נלמד בשיטת ההצבה.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=אינטגרציה_בחלקים&oldid=67476

קטגוריה:

אינפי