אינטגרציה בחלקים

הגדרה

אינטגרציה בחלקים הוא כינוי לנוסחת האינטגרציה הבאה:

$\int{f'\cdot g}=f\cdot g-\int{f\cdot g'}$

הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל:

$(f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f$

הנוסחא נכונה במידה והאינטגרלים מוגדרים, ובפרט עבור f וg בעלות נגזרות רציפות.

(אחרת, אמנם יש קדומה ל$f'\cdot g+g'\cdot f$, אבל לא בהכרח ל$f'\cdot g$ ו $g'\cdot f$ בנפרד.)

דוגמאות

א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.

$\int{x\cdot\cos(x)}=?$

נסמן $f'=\cos(x)\ ,\ g=x$

ולכן $f=\sin(x)\ ,\ g'=1$

לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים

$\int{x\cdot\cos(x)}=x\cdot\sin(x)-\int{\sin(x)}=x\cdot\sin(x)+\cos(x)+C$ .

ב. חזרה למקורות - בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם חזרה לאינטגרל המקורי פותרת לנו את הבעייה.

$\int{e^x\cdot\cos(x)}=?$

נסמן $I=\int{e^x\cdot\cos(x)}$

לכן

$I=e^x\cdot\cos(x)+\int{e^x\cdot\sin(x)}=e^x\cdot\cos(x)+e^x\cdot\sin(x)-\int{e^x\cdot\cos(x)}=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)-I$

ולכן

$2I=e^x\big(sin(x)+\cos(x)\big)$

ומכאן יוצא

$\int{e^x\cdot\cos(x)}=I=\frac{e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)}{2}+C$ .

ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע $1$ כנגזרת של הפונקציה $x$ ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים.

$\int{\sqrt{a^2-x^2}}=?$

נסמן $f'=1\ ,\ g=\sqrt{a^2-x^2}$

ולכן $f=x\ ,\ g'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}$

נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים:

$\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=$

$=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=$

$=x\sqrt{a^2-x^2}-\int{\sqrt{a^2-x^2}}+a^2\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}}=$

ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת

$2\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}}$

כאשר את האינטגרל האחרון נלמד בשיטת ההצבה.