אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 12

הגדרות

הנה מערכון שמסביר את החשיבות של המושג מוגדר היטב. זה מסביר גם למה אתם מתלוננים שקשה לכם. (סתם להתלהב שהוספתי יכולת לשים קישור ליו-טיוב)

אהבתי.......

ארז - לא כולם חכמים כמוך!

מערכון מצחיק מאוד :) אבל בוא נודה באמת - תרגיל 9... צמיגי

חחחחחחחח נוי..

• לא אני כתבתי את זה זה אדם כתב את זה!

למרות שאני מסכימה איתו (עם אדם) וזהו..

• זה מצחיק בערך כמו הבוחן

תומר - הממ ...

תרגיל 9, שאלה 4

השאלה חוזרת על הנתונים של שאלה 3, ומוסיפה עליהם. למדנו שפונקציה רציפה בקטע סגור אינטגרבילית שם לפי רימן. נראה כאילו המידע על הנגזרת מיותר, וגם הרמז, והשאלה זהה ל3, או לפחות מוסקת מ3 מיידית. מה פיספסתי?

(לא ארז/תומר) g לא בהכרח אי-שלילית.

שאלה בקשר לתרגיל 9

בתרגילים 5,6 צריך לחשב אינטגרל של פונקציה שלא מוגדרת בתחום של האינטגרל (ב-0), למרות שלא מדובר באינטגרל מסוג שני (אם אני לא טועה..) כי הפונקציה חסומה. אז למה הכוונה באינטגרל? פשוט להתעלם מהנק' הזו...?

תשובה

ההגדרה של פונקציה בנקודה בודדת לא קשורה בשום צורה לאינטגרל. בהינתן אינטגרל מסוים על פונקציה, אם אשנה את הערך של נקודה בודדת, או אבטל את ההגדרה של הפונקציה בנקודה הבודדת הזו - האינטגרל המסויים לא ישתנה. 

אינטגרל לא אמיתי הינו אינטגרל על פונקציה שאינה חסומה בקטע או אינטגרל על פני קטע אינסופי.

בשאלה 6 הפונקציה בהחלט יכולה להיות בלתי חסומה בקטע.

שאלה

בתרגיל 8 א'. במקרה שx=1. האם t^(1-x) הוא בטוח 1? כלומר, במידה וt=0, הביטוי 0^0 לא מוגדר..

תשובה

הערך של פונקציה בנקודה בודדת לא משנה את האינטרגל המסוים

אבל זה גורם לפונק' להיות אי רציפה!

פונקציה לא רציפה יכולה להיות אינטגרבילית! למעשה לפונקציה יכולה להיות קבוצת נקודות אי רציפות ממידה אפס ועדיין היא תהיה אינטגרבילית.

לא התכוונתי לזה.. שאלתי הייתה האם ניתן להפוך את הביטוי t^0 באופן אוטומטי ל1.

בכל נקודה שונה מאפס הרי זה ברור, אז מה זה משנה מה ההגדרה בנקודה אפס? הרי מדובר על הפונקציה שמתחת לאינטגרל.

זה לא הופך את האינטגרל לל"א מסוג שני או משהו, נכון? כלומר, אולי 0^0 בעצם שואף לאינסוף איכשהו?.. אנחנו לא יכולים לדעת מה זה 0^0.. (או שזה סתם קטנוני, ואפשר להתייחס לt^0 כ1 תמיד..)

read my lips הערך של פונקציה בנקודה בודדת לא משנה את האינטגרל. אין כזו חיה "שאיפה לאינסוף בנקודה בודדת". שאיפה לאינסוף היא בסביבה, ופה בסביבה זה קבוע אחד, לכן הגבול הוא בוודאי אחד גם כן (בלי קשר לכפל באקספוננט)

במתמטיקה אין קטנוניות. יש נכון או לא נכון. מה שאני מסביר הוא שההגדרה של 0^0 אינה משנה מכיוון שבכל נקודה אחרת אנחנו יודעים את ערך הפונקציה.

מתי יהיה מועד ב' בבוחן באינפי?

אף אחד לא הביא לנו אישורים עדיין..

נביא ביום שלישי.. אבל יש לכם תאריך כבר?

אנחנו אי פעם נקבל את הבחנים הבדוקים כדי לראות על מה הורדתם???

תומר - לא אהבתי את הטון הזה ... אבל תקבלו תשובה . כבר יש בירור לגבי "פתיחת בחנים" - שהוא לא דבר מקובל לפי שנאמר לי . תשובה תקבלו .

כמובן שמועד ב' אינו בחירה, אלא בלבד לבעלי האישורים המתאימים (זה לא מבחן, ואין מועד ב' לנכשלים).

וואי,פתיחת בחנים תהיה מעולה....כבר עשו לנו את זה בקורסים קודמים,אז זו לא בעיה..... עדיף לעשות את זה מסודר,מאשר לחלק בכיתה,ואז אם רוצים לערער יש בעיות...

תרגיל 9 שאלה 2 סעיף ב'

האם נוכל לקבל איזשהו כיוון ממשי? זה סעיף צמיגי.

תשובה

הכיוון שרשום בשאלה הוא הכי ממשי שיש. התשובה לאחר מכן היא של שתי שורות. האם יכולות להיות אינסוף נקודות עם ערך הפונקציה xf גדול מאפסילון מסויים?

אני לא רואה סיבה למה לא. נניח לכל n בין הערכים $x=2^n$ ן $x=2^{(n+1)}$ יהיה איזשהו $x_n$ כך ש $f(x_n)$ גדול מאפסילון. זה לא מהווה סתירה להתכנסות הטור.

דווקא אתה בכיוון הנכון. זה כן מהווה סתירה להתכנסות הטור יחד עם נתוני השאלה. קצת אלגברה וסיימת. (רק שאתה רוצה $x_nf(x_n)>\epsilon$)

נתוני השאלה הם על הפונקציה f. אתה אומר שאפשר להשליך מהם על x*f? זה נראה כאילו אי אפשר להסיק עליה כלום. מונוטוניות שלה למשל הייתה מאוד עוזרת פה.

אבל היא לא מונוטונית. כמו שאמרתי, קצת אלגברה.

ההרצאה מחר

קיבלנו איימיל שההרצאה של פרופסור שיין היא ב-12 בצהריים, כהשלמה להרצאה שבוטלה בראשון. אבל ההרצאה השניה איתו מחר היא ב-3 וחצי, זה הגיוני שההרצאה הראשונה היא ב-12 או שזו טעות?

שאלה

האם מבחן האינטגרל דורש רציפות של הפונקציה? בקבוצה אחת היא נדרשה, ובקבוצה השניה לא.

תשובה

ההרצאה כמובן קובעת במקרה כזה, אבל לדעתי הפונקציה לא צריכה להיות רציפה. האינטגרל $\int_k^{k+1}fdx$ חסום בין המינימום למקסימום של הפונקציה כפול אורך הקטע כלומר

$f(k+1)\leq\int_k^{k+1}fdx\leq f(k)$ עושים סכום אינסופי ומקבלים את הנדרש.

יש לציין הפונקציה מונוטונית ולכן אינטגרבילית בקטע סופי.

בקשה

האם תוכלו בבקשה לדחות את הגשת תרגיל מספר 10, כך שלא יהיה ליום שלישי הבא.כיוןן שלרוב המולחט מאיתנו יש גם בגרות בלשון וגם בגרות בהיסטוריה!. דבר אשר ימנע מאיתנו לתת את מירב השקעה בתרגיל מספר 10 וחבל.

תודה

שאלה תרגיל9 שאלה 5

איך נעזרים בנוסחת בונה לכל הרוחות??? אשמח לעזרה...

תשובה

בצד שהוא לא טריוויאלי כמובן. תזהה מי הן f וg תרשום את הנוסחא ותראה מה קורה.

הצלחתי להגיע ש-

$\int_1^{\infty} \frac{\sin (x)}{x}dx = \lim_{t \rightarrow \infty} [-\cos (c_t) + \cos (1) -\frac{\cos (t)}{t} + \frac{\cos (c_t)}{t}]$

כאשר, $c_t$ זוהי הנקודה מנוסחת בונה... עכשיו, אני פשוט לא מבין איך מחשבים את הגבול

$\lim_{t \rightarrow \infty} \cos (c_t)$

כי הנקודה $c_t$ עלולה להשתנות כאשר $t$ הולך לאינסוף...??

אתה צריך להראות שאינטגרל מתכנס, לא למצוא את סכומו. גם לגמרי לא ברור לי איך הגעת למה שרשמת מנוסחאת בונה..

,עבדתי בדרך הבאה:

$\int_1^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_1^t\frac{\sin(x)}{x}dx$

עפ"י נוסחת בונה (מתרגיל 4), קיימת $c_t$ בקטע $[1,t]$ , כך שמקיימת:

$\int_1^t \frac{\sin(x)}{x}dx = \int_1^{c_t} \sin(x)dx + \frac{1}{t} \cdot \int_{c_t}^t \sin(x)dx$

מפה פתחתי, והגעתי למה שכבר רשמתי... ונתקעתי כי אני לא יודע מה קורה לנקודה $c_t$ ,שתלויה ב-$t$, כאשר $t \rightarrow \infty$

מה עושים???

הבנתי. אילו עוד תכונות למדת ששקולות להתכנסות האינטגרל?

למיטב ידעתי, לא למדנו עוד כלל לבחון התכנסות של אינטגרל, חוץ מהשוואה (+גבולי)... או המבחן עם הטור, אשר לא ניתן לשימוש כי הפונקציה הנתונה איננה יורדת... אשמח לעזרה...

אני מציע להסתכל במחברת ולרות אם אין עוד כללים ששקולים להתכנסות של אינטגרל (לא התכוונתי לכתוב טור...)

שאלה

מה תחום ההתכנסות של הטור: הסכום מk=1 עד n של k/x? צריך למעשה לבדוק את הגבול של הסס"ח בn->infinity..

ועוד שאלה. ידוע שסכום סופי של פונק' רציפות הוא תמיד פונק' רציפה. ולכן אם יש לנו טור של פונק' רציפות, אז sn(x) רציפה - כמובן. אך אם בנוסף הטור מתכנס במ"ש, כלומר הסס"ח מתכנס במ"ש, למה זה גורר שs(x) רציפה בתחום?

תשובה

אתה מתכוון לטור $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{x}$? הרי זה שווה ל$\frac{1}{x}\sum k$ וזה אינסוף לכל איקס... פרט לאפס שם זה בכלל לא מוגדר.

השאלה השנייה זה משפט, מצחיק לשאול את זה כשאלה. צריך להוכיח את זה.. אני מקווה שזה ברור שזה נובע מהמשפט המתאים לגבי סדרת פונקציות. לא קשה להוכיח את זה.

נכון, תודה רבה

ועוד שאלה. עבור הטור x^k*(1-x) qqqq, בנק' 0 הסכום האינסופי הוא 0 כמובן, לא? בהרצאה נאמר שs(x) הוא 1 בתחום זה..

על פניו נראה שזה טור של אפס קבוע ולכן אפס

שאלונת

אם an<=bn לכל n, האם זה גורר שהסכום האינסופי של an קטן שווה לסכום האינסופי של bn?

(לא ארז/תומר) ברור! ואם אתה רוצה הוכחה: באינדוקציה אפשר להוכיח שלכל n הסס"ח של an קטן שווה לזה של bn. הסכום האינסופי הוא הגבול של הסס"ח. ומתחילת אינפי 1 אי שיוויון באברי סדרה גורר אי שוויון בגבול (אם קיים).

תגידו, לא שאני רוצה- אבל יהיה תרגיל 10 השבוע או שקיבלנו שבוע חופש מתרגיל?

יהיה תרגיל, עוד לא החלטנו לגבי תאריך ההגשה.

יש לי בקשה מכם - והיא בשם הרבה מאיתנו - בשבוע הקרוב יש בגרות בלשון (שבניגוד לתקופה שלכם, ארז ותומר, חלקו אותה לשני חלקים, וההבעה מהווה מחצית ממנה, כולל חיבור, כלומר כבר לא כל אחד יכול להוציא 100 בלי להתאמץ, וכרגע מי שמוציא מעל 90 נחשב לגאון), ו-4 ימים אח"כ יש בגרות בהיסטוריה (...) אין לי בעיה להגיש אפילו 3 תרגילים ביחד, אבל אפשר שהכל יקרה אחרי הבגרות בהיסטוריה, כלומר אחרי ה-21 בחודש? (ורצוי שלא ביום שאחריה...) תודה רבה!