=חומר עזר=
*[[מדיה:16Linear1Orit.pdf|סיכומי ההרצאות של ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016]]
*[[אלגברה לינארית 1/מבחנים|מבחנים ובחנים עם פתרונות מלאים באלגברה לינארית 1]]
=סרטוני ותקציר הרצאות=
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-s2FLlORO26_lglSVhtF-Fy פלייליסט של כל הסרטונים]
==פרק 1 - שדות==
===הגדרה ותכונות של שדה===
====הגדרת המספרים המרוכבים====
*<math>\mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}</math>
*<math>(a,b)+(c,d)=(a+b,c,b+d)</math>
*<math>(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)</math>
*הגדרות עבור <math>z=a+b\cdot i</math>
**<math>\overline{Zz}=a-b\cdot i</math>
**<math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math>
**<math>Re(z)=a</math>
*עבור <math>n\geq 2</math> טבעי, ומספר מרוכב <math>a+b\cdot i\neq 0</math> קיימים בדיוק n פתרונות למשוואה <math>z^n=a+b\cdot i</math>
*הנוסחא למציאת כל הפתרונות השונים:
**נעביר את המספר לצורתו הקוטבית <math>a+b\cdot i = r cis(\theatatheta)</math>
**הפתרונות הם <math>z_k = \sqrt[n]{r} cis\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right)</math> עבור <math>k=0,1,...,n-1</math>
==פרק 2- מערכות משוואות לינאריות==
===הגדרה וייצוג ע"י מטריצותמבוא למטריצות ולמערכות משוואות לינאריות===*<math>\mathbb{F}^n=\{(x_1,...,x_n)|\forall i:x_i\in\mathbb{F}\}</math> קבוצת הn-יות הסדורות.*<math>\mathbb{F}^{n\times m}</math> קבוצת המטריצות עם n שורות וm עמודות, ואיברים מהשדה <math>\mathbb{F}</math><videoflash>McOiAYPFI8Y</videoflash>
===צורה מדורגת הגדרת מערכת משוואות לינארית וקבוצת פתרונות===*מערכת משוואות לינארית היא זוג של מטריצת מקדמים <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> ומטריצת (וקטור) קבועים <math>\vec{b}\in\mathbb{F}^{n\times 1}</math>.*קבוצת הפתרונות למערכת המשוואות הלינארית היא קבוצת כל הn-יות המקיימות:*<math>\begin{cases}a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n=b_1\\\vdots \\a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}</math> <videoflash>7d0-QKqsKFQ</videoflash> ===פעולות דירוג אלמנטריות=== *שלושת פעולות הדירוג האלמנטריות:**<math>\alpha R_i</math> עבור <math>0\neq \alpha\in\mathbb{F}</math> (כפל שורה במטריצה בסקלר שונה מאפס)**<math>R_i+\alpha R_j</math> עבור <math>i\neq j</math> (הוספה לשורה קבוע כפול שורה אחרת)**<math>R_i \leftrightarrow R_j</math> (החלפת שתי שורות במטריצה זו בזו) <videoflash>c0OMS3WDhro</videoflash> ===ייצוג מערכת משוואות בעזרת מטריצה===<videoflash>wAAnDAtYMdc</videoflash> ===צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית=== *איבר בשורה נקרא פותח/מוביל/ציר אם הוא הראשון משמאל בשורה ששונה מאפס. *מטריצה נקראת מדורגת אם:**אם יש שורות אפסים, כולן בתחתית.**כל איבר פותח נמצא מימין לאיברים הפותחים בשורות מעליו. *מטריצה נקראת מדורגת קנונית אם:**היא מדורגת.**כל האיברים הפותחים שווים ל1.**בכל עמודה בה יש איבר פותח, כל האיברים מעליו שווים ל0. <videoflash>0vAfIyylmJQ</videoflash>
===משתנים חופשיים ותלויים===
*משתנה נקרא תלוי אם בצורה המדורגת של המטריצה יש איבר פותח בעמודה המתאימה לו.
*כל משתנה שאינו תלוי, נקרא משתנה חופשי.
*מציאת כמות הפתרונות של מערכת משוואות לינארית:
**מדרגים את המטריצה שמייצגת את המערכת.
**אם יש שורת סתירה, אין פתרון למערכת.
**אם אין שורת סתירה, ואין משתנים חופשיים (כל המשתנים תלויים) אז יש פתרון יחיד למערכת.
**אם אין שורת סתירה, ויש משתנים חופשיים, כמות הפתרונות היא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.
*מציאת הפתרון הכללי של מערכת משוואות לינארית:
**מדרגים '''קנונית''' את המטריצה שמייצת את המערכת.
**מוודאים שאין שורת סתירה.
**בכל משתנה חופשי מציבים פרמטר.
**מבטאים את המשתנים התלויים באמצעות הפרמטרים שהצבנו.
<videoflash>7LVNxZYqxA0</videoflash>
===דירוג מטריצה עם פרמטר===
<videoflash>xtoSEf5__3g</videoflash>
===הוכחת קיום ויחידות צורה מדורגת קנונית===
<videoflash>krxl_7L1Fp8</videoflash>
===תרגול===
==פרק 3 - אלגברת מטריצות==
===חיבור מטריצות וכפל בסקלר===
*תהיינה <math>A,B\in\mathbb{F}^{n\times m}</math> ויהי סקלר <math>\alpha\in\mathbb{F}</math>
**נגדיר את <math>A+B\in\mathbb{F}^{n\times m}</math> על ידי <math>[A+B]_{ij}=[A]_{ij}+[B]_{ij}</math>
**נגדיר את <math>\alpha A\in\mathbb{F}^{n\times m}</math> על ידי <math>[\alpha A]_{ij} = \alpha [A]_{ij}</math>
<videoflash>nPp9fKfX2D4</videoflash>
===כפל מטריצות===
*<math>\sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+\cdots +a_n</math>
*<math>\prod_{k=1}^n a_k = a_1\cdot a_2\cdots a_n</math>
<videoflash>u2yfOPoNN_A</videoflash>
*תהיינה <math>A\in\mathbb{F}^{n\times m},B\in\mathbb{F}^{m\times k}</math>
**נגדיר את המכפלה <math>AB\in\mathbb{F}^{n\times k}</math> על ידי
**<math>[AB]_{ij}=R_i(A)C_j(B)=\sum_{p=1}^m[A]_{ip}[B]_{pj}</math>
<videoflash>kQ769lnvuQw</videoflash>
*הוקטור <math>\vec{x}</math> הוא פתרון למערכת המשוואות עם מטריצת המקדמים <math>A</math> ווקטור הקבועים <math>\vec{b}</math> אם ורק אם <math>A\cdot \vec{x}=\vec{b}</math>
<videoflash>EJvkvjukJSA</videoflash>
====שיטות לחישוב כפל מטריצות====
<videoflash>9OZayHru9Qc</videoflash>
*חישוב הכפל לפי עמודות
**<math>\begin{pmatrix}
| & & |\\
v_1 & \cdots & v_n \\
| & & |\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix}=x_1v_1 + \cdots x_nv_n</math>
**<math>C_i(AB)=AC_i(B)</math>
*חישוב הכפל לפי שורות
**<math>\begin{pmatrix}
x_1 & \cdots & x_n\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
- & v_1 & - \\
& \vdots & \\
- & v_n & -
\end{pmatrix}=x_1v_1 + \cdots x_nv_n</math>
**<math>R_i(AB)=R_i(A)B</math>
<videoflash>1oxFEUvo93U</videoflash>
===תכונות של אלגברת מטריצות===
*<math>A(B+C)=AB+AC</math> וכן <math>(A+B)C=AC+BC</math>
*<math>\alpha(AB) = (\alpha A)B = A (\alpha B)</math>
*<math>(\alpha+\beta)A = \alpha A+\beta A</math> וכן <math>\alpha(A+B)=\alpha A + \alpha B</math>
*<math>(\alpha \beta)A=\alpha(\beta A)</math>
<videoflash>vijM_8tKysI</videoflash>
*מטריצת היחידה <math>I_n\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> מוגדרת על ידי <math>[I_n]_{ij}=\begin{cases}1 & i=j\\ 0 & i\neq j\end{cases}</math>
*לכל <math>A\in\mathbb{F}^{n\times m}</math> מתקיים כי <math>I_n\cdot A=A\cdot I_m =A</math>
<videoflash>NgjeAJ32klI</videoflash>
*לכל שלוש מטריצות מתקיים חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות)
**<math>(AB)C=A(BC)</math>
<videoflash>d2iJot9FD1I</videoflash>
===פתרון כללי למערכת משוואות לא הומוגנית===
*פתרון '''פרטי''' למערכת הלא הומוגנית + פתרון כללי למערכת ההומוגנית = פתרון '''כללי''' למערכת הלא הומוגנית
<videoflash>AVg19Sgbu3w</videoflash>
===שחלוף===
*עבור <math>A\in\mathbb{F}^{n\times m}</math> נגדיר את המטריצה המשוחלפת <math>A^t\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> על ידי <math>[A^t]_{ij}=[A]_{ji}</math>
*<math>R_i(A^t)=C_i^t(A)</math>
*<math>C_i(A^t)=R_i^t(A)</math>
*<math>(A^t)^t=A</math>
*<math>(A+B)^t = A^t+B^t</math>
*<math>(\alpha A)^t = \alpha A^t</math>
*<math>(AB)^t=B^tA^t</math>
<videoflash>Z-SaVq8P4F0</videoflash>
===עקבה===
*העקבה (trace) של מטריצה ריבועית היא סכום איברי האלכסון:
**עבור <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> נגדיר <math>tr(A)=\sum_{i=1}^n[A]_{ii}</math>
*תכונות העקבה:
**<math>tr(A+B)=tr(A)+tr(B)</math>
**<math>tr(\alpha A)=\alpha tr(A)</math>
**<math>tr(AB)=tr(BA)</math>
*דוגמא: לא קיימות מטריצות ממשיות <math>A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}</math> כך ש <math>AB-BA=I</math>
**<math>tr(AB-BA)=0</math> אך <math>tr(I)=n\neq 0</math>
<videoflash>n0Ip_PY18G8</videoflash>
===תרגול===
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/2|תרגול בנושא אלגברת מטריצות]]
===מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות=== *מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{n\times m}</math> נקראת '''הפיכה''' אם קיימות מטריצות <math>B,C\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> כך ש<math>AB=I_n</math> וכן <math>CA=I_m</math>*אם מטריצה היא הפיכה, קיימת מטריצה '''יחידה''' שנסמנה <math>A^{-1}</math> ונקרא לה '''ההופכית''' של <math>A</math> המקיימת <math>AA^{-1}=I</math>. כמו כן היא המטריצה היחידה המקיימת <math>A^{-1}A=I</math>. *תהי <math>A</math> הפיכה, אזי למערכת המשוואות <math>A\vec{x}=\vec{b}</math> יש פתרון יחיד, והוא <math>\vec{x}=A^{-1}\vec{b}</math> <videoflash>mDGV4RgivKw</videoflash> *תהיינה <math>A,B</math> הפיכות מעל אותו שדה כך שהכפל <math>AB</math> מוגדר, אזי <math>(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}</math>*תהי <math>A</math> הפיכה אזי <math>(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t</math>*תהי <math>A</math> הפיכה אזי <math>(A^{-1})^{-1}=A</math>*תהי <math>A</math> הפיכה ויהי סקלר <math>\alpha\neq 0</math> אזי <math>(\alpha A)^{-1}=\alpha^{-1}A^{-1}</math> <videoflash>yMNcwMg5TFI</videoflash>
====מטריצות פעולה====
*תהי <math>f</math> פונקצית פעולה המבצעת פעולת דירוג אלמנטרית מסוימת.
*לכל <math>n</math> נגדיר את מטריצת הפעולה <math>f(I_n)</math>.
*לכל מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> מתקיים כי <math>f(I_m)\cdot A = f(A)</math>
*מטריצת הפעולה היא הפיכה.
*לכל מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> קיימת מטריצה הפיכה <math>P\in\mathbb{F}^{m\times m}</math> כך ש <math>P\cdot A=CF(A)</math>
<videoflash>YrguBhiobxM</videoflash>
====בדיקת הופכיות ומציאת ההופכית====
*מטריצה מחלקת אפס אינה הפיכה. כלומר, אם <math>B\neq 0</math> אך <math>AB=0</math> או <math>BA=0</math> אזי <math>A</math> אינה הפיכה
*אם ב<math>A</math> השורה הi היא שורת אפסים, אזי לכל <math>B</math> כך שהכפל מוגדר, השורה הi ב<math>AB</math> היא שורת אפסים.
**ב<math>BA</math> לא חייבת להיות שורת אפסים, לעומת זאת.
*מטריצה עם שורת אפסים אינה הפיכה.
*מטריצה הפיכה חייבת להיות ריבועית.
<videoflash>jjyjwLKIpO0</videoflash>
*מטריצה <math>A</math> היא הפיכה אם ורק אם <math>CF(A)=I</math>
*אם <math>A,B</math> '''ריבועיות''' כך ש<math>AB=I</math> אזי <math>A^{-1}=B</math>
*תהיינה <math>A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> '''ריבועיות''' אזי <math>AB</math> הפיכה אם ורק אם <math>A,B</math> הפיכות שתיהן
*דוגמא לשתי מטריצות לא הפיכות שמכפלתן הפיכה (זה לא סותר את המשפטים לעיל כיוון שהמטריצות אינן ריבועיות).
**<math>\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}</math>
<videoflash>HIyAwF_JMpc</videoflash>
=====אלגוריתם לבדיקת הפיכות ומציאת ההופכית=====
*תהי מטריצה ריבועית <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math>
*נדרג את מטריצת הבלוקים <math>(A|I)</math> קנונית.
*אם בשלב כלשהו נגלה שבצורה המדורגת של <math>A</math> יש שורת אפסים, אזי היא אינה הפיכה.
*אחרת, הצורה הקנונית של <math>A</math> היא <math>I</math> ולכן היא הפיכה.
*הגענו למטריצת הבלוקים <math>(I|A^{-1})</math>.
<videoflash>ZCwFECBzsDA</videoflash>
====תרגול====
===הגדרה ותכונות של מרחבים וקטוריים===
*מרחב וקטורי <math>V</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> הוא קבוצת איברים (הנקראים וקטורים) יחד עם פעולת חיבור וכפל בסקלר, כך שמתקיימות התכונות הבאות:
#סגירות: <math>\forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w\in V \and \alpha u\in V</math>
#חילופיות: <math>\forall u,w\in V:u+w=w+u</math>
#אסוציאטיביות (קיבוץ): <math>\forall u,w,v\in V\forall \alpha,\beta\in\mathbb{F}:(u+w)+v=u+(w+v) \and \alpha(\beta v) = (\alpha \beta) v</math>
#נייטרלי לחיבור: <math>\exists 0_V\in V\forall v\in V:0_V+v=v</math>
#נגדיים: <math>\forall v\in V\exists (-v)\in V: v+(-v)=0_V</math>
#נייטרלי לכפל בסקלר: <math>\forall v\in V: 1_\mathbb{F}\cdot v = v</math>
#דיסטריביוטיביות (פילוג): <math>\forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}: (\alpha+\beta)u = \alpha u+\beta u \and \alpha(u+w)=\alpha u +\alpha w</math>
<videoflash>wd1XcxGymM0</videoflash>
*יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> ויהיו <math>\alpha\in\mathbb{F},u\in V</math> אזי:
**<math>\alpha u = 0_V</math> אם ורק אם <math>\alpha=0_\mathbb{F}</math> או <math>u=0_V</math>
*כמו כן, <math>(-1_\mathbb{F})u=-u</math>
<videoflash>OLYp1kVAPrA</videoflash>
===תתי מרחבים===
*יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, ותהי <math>U\subseteq V</math> תת קבוצה של וקטורים.
*אזי <math>U</math> נקרא '''תת מרחב''' של <math>V</math> אם הוא מהווה מרחב וקטורי יחד עם פעולת החיבור והכפל בסקלר של <math>V</math>.
*יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, ותהי <math>U\subseteq V</math> תת קבוצה של וקטורים.
*אזי <math>U</math> תת מרחב אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
**<math>0_V\in U</math>
**לכל <math>v_1,v_2\in U</math> ולכל <math>\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>v_1+\alpha v_2\in U</math>
<videoflash>JYKLCPsrzY8</videoflash>
*תהי <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> אזי קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>N(A)\subseteq\mathbb{F}^n</math> הינה תת מרחב וקטורי.
**קבוצת הפתרונות של מערכת לא הומוגנית '''אינה''' תת מרחב וקטורי כיוון שהיא אינה מכילה את וקטור האפס.
*אוסף המטריצות הסימטריות מהווה תת מרחב של אוסף המטריצות הריבועיות.
*אוסף הפולינומים שמתאפסים בנקודה מסויימת, מהווה תת מרחב של אוסף הפולינומים.
<videoflash>ryvLbuYq5nY</videoflash>
====חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים====
*יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, ויהיו <math>U,W\subseteq V</math>, תתי מרחב.
**<math>U\cap W</math> הינו תת מרחב של <math>V</math>.
**<math>U\cup W</math> תת מרחב של <math>V</math> אם ורק אם <math>U\subseteq W</math> או <math>W\subseteq U</math>.
<videoflash>CriKpGqFQvs</videoflash>
*יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, ויהיו <math>U,W\subseteq V</math>, תתי מרחב.
*נגדיר את סכום תתי המרחבים:
**<math>U+W=\{u+w|u\in U,w\in W\}</math>
*<math>U+W</math> הינו תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את <math>U,W</math>. כלומר סכום תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
**לכל תת מרחב <math>U,W\subseteq T</math> מתקיים כי <math>U,W\subseteq U+W\subseteq T</math>
*<math>U\cap W</math> הינו תת המרחב הגדול ביותר שמוכל ב<math>U,W</math>. כלומר חיתוך תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
**לכל תת מרחב <math>T\subseteq U,W</math> מתקיים כי <math>T\subseteq U\cap W\subseteq U,W</math>
<videoflash>JbSFfscwrSE</videoflash>
*דוגמא:
*<math>V=\mathbb{R}^3</math>
*<math>U=\{(a,b,a+b)|a,b\in\mathbb{R}\}</math>
*<math>W=\{(a+b,a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}</math>
*<math>U+W=V</math>
*ניתן להציג וקטור בשתי דרכים שונות כסכום של רכיב מU ועוד רכיב מW:
**<math>(4,4,4)=(0,2,2)+(4,2,2)=(1,2,3)+(3,2,1)</math>
*סכום ישר:
*יהי V מ"ו ויהיו U,W תתי מרחב. אומרים ש <math>V=U\oplus W</math> אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
**<math>V=U+W</math>
**<math>U\cap W =\{0_V\}</math>
*משפט:
*<math>V=U\oplus W</math> אם ורק אם לכל וקטור <math>v\in V</math> '''קיימת''' הצגה '''יחידה''' <math>v=u+w</math> כסכום של רכיבים מU ומW.
*כלומר בדוגמא לעיל, הסכום אינו ישר, כיוון שהצגנו וקטור אחד בשתי דרכים שונות.
<videoflash>T3OkiTwXoH0</videoflash>
====תרגול====
===פרישה ותלות לינארית===
*יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> ותהי <math>S\subseteq V</math>.
**וקטור <math>x\in V</math> נקרא '''צירוף לינארי''' של הקבוצה <math>S</math> אם <math>x=0_V</math> או קיימים וקטורים בקבוצה <math>v_1,...,v_n\in S</math> וסקלרים מהשדה <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{F}</math> כך ש <math>x=a_1v_1+...+a_nv_n</math>
*כלומר, ניתן "ליצור" את x בעזרת פעולות המרחב הוקטורי על הקבוצה S (או שx=0)
*אוסף כל הוקטורים במרחב שהם צירופים לינאריים של S נקרא <math>span(S)</math>.
*טענה: יהי V מ"ו ותהי <math>S\subseteq V</math> אזי <math>span(S)</math> הוא תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את <math>S</math>. כלומר:
**<math>span(S)</math> תת מרחב וקטורי
**לכל תת מרחב <math>T</math> כך ש <math>S\subseteq T</math> מתקיים כי <math>S\subseteq span(S)\subseteq T</math>
<videoflash>4hLYHhGE-68</videoflash>
*יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, ותהי n-ית וקטורים <math>(v_1,...,v_n)\in V^n</math>. אומרים שהוקטורים <math>v_1,...,v_n</math> (לאו דווקא שונים) '''תלויים לינארית''' או ת"ל בקיצור, אם קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{F}</math> '''לא כולם אפס''' כך שהצירוף הלינארי מתאפס <math>a_1v_1 +...+a_nv_n=0_V</math>.
*אם הוקטורים אינם תלויים לינארית, אומרים שהם '''בלתי תלויים לינארית''' או בת"ל בקיצור.
*קבוצה <math>S\subseteq V</math> נקראת תלוייה לינארית אם קיימים <math>v_1,...,v_n\in S</math> וקטורים '''שונים''' שתלויים לינארית.
<videoflash>7xoVNM3OX2A</videoflash>
*יהיו <math>v_1,...,v_k\in\mathbb{F}^n</math>.
*הם בת"ל אם ורק אם הפתרון היחיד למשוואה <math>x_1v_1+...+x_kv_k=0_V</math> הוא שכל הסקלרים הם אפסים.
**בעזרת חישוב הכפל לפי עמודות <math>x_1v_1+...+x_kv_k=\begin{pmatrix}| & & | \\ v_1 & \cdots & v_k\\| & & |\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_k\end{pmatrix}</math>
*לכן אם נשים את הוקטורים '''בעמודות''' מטריצה A, נקבל שהם בת"ל אם ורק אם למערכת המשוואות ההומוגנית יש '''פתרון יחיד''' כלומר <math>N(A)=\{0_v\}</math>
*באופן דומה, אלגוריתם לקבוע האם <math>v\in span\{v_1,...,v_k\}</math>:
**נשים את הוקטורים <math>v_1,...,v_k</math> '''בעמודות''' מטריצה A, ונשים את v בעמודה כוקטור הקבועים.
**הוקטור שייך למרחב אם ורק אם למערכת הלא הומוגנית יש פתרון.
<videoflash>JOYrFXvKwzY</videoflash>
===בסיס ומימד===
*לֶמת ההחלפה של שטייניץ
*יהי <math>V</math> מ"ו ותהיינה <math>A\subseteq V</math> בת"ל וכן <math>B\subseteq V</math> פורשת (כלומר <math>sp(B)=V</math>).
*אזי לכל <math>a\in A</math> קיים <math>b\in B</math> כך ש <math>b\notin A\setminus \{a\}</math> וגם הקבוצה <math>(A\setminus \{a\})\cup \{b\}</math> בת"ל.
<videoflash>_vIuR0AuJ68</videoflash>
*יהי <math>V</math> מ"ו ותהי <math>B\subseteq V</math> קבוצה פורשת (כלומר <math>sp(B)=V</math>) כך ש <math>|B|=n</math> (כלומר יש בה n וקטורים).
*תהי בנוסף <math>A\subseteq V</math> קבוצה בת"ל, אזי <math>|A|\leq |B|</math> (כלומר כמות הוקטורים בקבוצה בת"ל קטנה או שווה לכמות הוקטורים בקבוצה פורשת).
<videoflash>nHeL8a3KNhs</videoflash>
*הגדרת בסיס:
*יהי <math>V</math> מ"ו ותהי <math>S\subseteq V</math> קבוצת וקטורים.
*אם <math>S</math> בת"ל וגם פורשת את כל המרחב (כלומר <math>sp(S)=V</math>) אזי היא נקראת '''בסיס''' למרחב <math>V</math>.
*יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית (כלומר קיימת קבוצה סופית <math>B\subseteq V</math> שפורשת את כל המרחב <math>sp(B)=V</math>).
*אזי קיים לו בסיס סופי.
*כמו כן, בכל שני בסיסים במרחב יש בדיוק את אותה כמות הוקטורים.
*כמות הוקטורים בבסיס מוגדרת להיות '''המימד''' של המרחב. כלומר בהנתן בסיס B מגדירים <math>dim(V)=|B|</math>.
*כל תת מרחב של מרחב נוצר סופית גם נוצר סופית, ולכן גם עבורו מוגדר מימד.
<videoflash>UR9LnbO4QGE</videoflash>
====העשרה====
*לכל מרחב וקטורי יש בסיס.
*ניקח שרשרת מקסימלית של קבוצות בת"ל M.
*נגדיר את האיחוד הכללי של M להיות B.
*B בת"ל, כי אם יש בה וקטורים תלויים, הם הגיעו מאחד הקבוצות (בשרשרת כל מספר סופי של קבוצות מוכלות באחת מהן)
*B פורשת, אחרת היה ניתן להגדיל אותה באמצעות וקטור שאינו נפרש על ידה, היינו מקבלים קבוצה בת"ל חדשה שניתן להוסיף לשרשרת המקסימלית, בסתירה.
<videoflash>qzUDzq2pB1Q</videoflash>
====משפט השלישי חינם====
*יהי <math>V</math> מ"ו ממימד <math>n</math> ותהי <math>S\subseteq V</math>.
*אזי אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, גם השלישי מתקיים ו<math>S</math> מהווה בסיס למרחב <math>V</math>.
**<math>S</math> בת"ל
**<math>S</math> פורשת (כלומר <math>sp(S)=V</math>)
**<math>|S|=n</math> (כלומר כמות הוקטורים ב<math>S</math> שווה למימד)
<videoflash>PuWBn0h7POQ</videoflash>
*יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב.
*אם <math>\dim (U)=\dim (V)</math> אזי <math>U=V</math>
<videoflash>Ab1UEuTwM_U</videoflash>
====תרגול====
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/5|תרגול על תלות, פרישה, בסיס ומימד]]
===משפט המימדים===
<math>sp(A\cup B) = sp(A)+sp(B)</math>
<videoflash>eLO8bpTu3N4</videoflash>
*<math>\dim (U+W) = \dim(U)+\dim(W) - \dim(U\cap W)</math>
<videoflash>47JbbBo48BA</videoflash>
<videoflash>N-NLiHVo3_0</videoflash>
===שלושת מרחבי המטריצה ודרגת מטריצהומציאת בסיסים=== *תהי <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>**<math>R(A)=sp\{R_1(A),...,R_m(A)\}\subseteq \mathbb{F}^n</math>**<math>C(A)=sp\{C_1(A),...,C_n(A)\}\subseteq \mathbb{F}^m</math>**<math>N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n|Ax=0\}\subseteq \mathbb{F}^n</math> <videoflash>KC3s33u3x4o</videoflash> *<math>R(AB)\subseteq R(B)</math>*<math>C(AB)\subseteq C(A)</math> <videoflash>WWcHqqshzlo</videoflash> *על מנת למצוא בסיס לחיתוך בין תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה אלגברית והחיתוך הוא אוסף הפתרונות של המשוואות משתי המערכות.*על מנת למצוא בסיס לסכום תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה פרמטרית והסכום נפרש ע"י איחוד הקבוצות הפורשות. <videoflash>W3jcV4O-FLc</videoflash> *ניתן להשלים כל קבוצה בת"ל לבסיס.*לוקחים את הקבוצה הבת"ל, מוסיפים לה בסיס כלשהו, מדרגים בעמודות ומוחקים את הוקטורים המיותרים. <videoflash>XKutm8q2elw</videoflash>
====תרגול====
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7|תרגול בנושא מרחבי המטריצה]]
===דרגה של מטריצה===
*בכל צורה מדורגת של A, האיברים הפותחים נמצאים באותן העמודות.
<videoflash>pMNQF8yucGs</videoflash>
*כל הגדלים הבאים שווים:
**דרגה של מטריצה
**מימד מרחב העמודות
**מימד מרחב השורות
**מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת
**מספר המשתנים התלויים במערכת ההומוגנית
*כמו כן, מימד מרחב האפס שווה למספר המשתנים החופשיים.
*ביחד מקבלים את משפט הדרגה (שנוכיח במדויק בהמשך): דרגת המטריצה ועוד מימד מרחב האפס שווה לכמות עמודות המטריצה (מספר המשתנים).
<videoflash>K3GRdLnuVm4</videoflash>
==פרק 5 - העתקות לינאריות==
===העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות===
*מרחב ההעתקותיהיו <math>V,W</math> מ"ו מעל אותו שדה <math>\mathbb{F}</math>.*פונקציה <math>T:V\to W</math> נקראת '''העתקה לינארית''' אם לכל <math>v_1,v_2\in V,\alpha\in\mathbb{F}</math> היא מקיימת:**<math>T(v_1+v_2)=Tv_1+Tv_2</math>**<math>T(\alpha v_1)=\alpha Tv_1</math> *שימו לב לסימון <math>Tv_1=T(v_1)</math> <videoflash>jU5KHYC2E7s</videoflash> ====פעולות בין העתקות לינאריות==== *הרכבת העתקות לינאריות היא העתקה לינארית*סכום וכפל בסקלר של העתקות לינאריות היא העתקה לינארית*הפונקציה ההופכית של העתקה לינארית הפיכה היא העתקה לינארית <videoflash>YxwGnruuVzk</videoflash>
===גרעין ותמונה===
* תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית** הגרעין <math>\ker T=\{v\in V|Tv=0_W\}</math> הוא תת מרחב של התחום <math>V</math>** התמונה <math>Im T=\{Tv|v\in V\}=\{w\in W|\exists v\in V:Tv=w\}</math> היא תת מרחב של הטווח <math>W</math> *ההעתקה <math>T:V\to W</math> חח"ע אם ורק אם <math>\dim\ker T=0</math>*ההעתקה <math>T:V\to W</math> על אם ורק אם <math>\dim Im T = \dim W</math> <videoflash>8dQ9s5sLfGY</videoflash> ====משפט הדרגהלהעתקות לינאריות ולמטריצות==== *תהי העתקה לינארית <math>T:V\to W</math> ויהי <math>\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס לV.*אזי <math>Im T=span\{Tv_1,...,Tv_n\}</math> <videoflash>jT-LlnbGFmM</videoflash> *תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית אזי <math>\dim \ker T +\dim Im T =\dim V</math> *תהי <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> אזי <math>\dim N(A) + rank(A)=n</math> <videoflash>iJWnxV8jZ3A</videoflash> *תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית בין מרחבים וקטוריים נוצרים סופית.**אם T חח"ע אז <math>\dim V\leq \dim W</math>**אם T על אזי <math>\dim V \geq \dim W</math>**אם <math>\dim V =\dim W</math> אזי T חח"ע אם"ם T על. *העתקה לינארית נקראת גם '''הומומורפיזם'''. העתקה לינארית הפיכה נקראת '''איזומורפיזם'''.*מרחבים וקטוריים נקראים '''איזומורפייים''' זה לזה, אם קיים איזומורפיזם בינהם (זהו יחס שקילות).*מרחבים וקטוריים נוצרים סופית איזומורפיים זה לזה, אם ורק אם המימדים שלהם שווים. <videoflash>Y-NJvNQWFzM</videoflash>
====תרגול====
*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8|תרגול על העתקות, גרעין ותמונה, משפט הדרגה]]
===יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה===
*יהי V מ"ו ויהי <math>\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס סדור לV.
*אזי לכל <math>x\in V</math> '''קיימת''' הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של איברי הבסיס:
**<math>x=a_1v_1+...+a_nv_n</math>
<videoflash>qzvrMPhp3eY</videoflash>
*יהיו V,W מ"ו מעל אותו שדה, ויהי <math>\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס סדור לV.
*תהיינה סדרת וקטורים <math>w_1,...,w_n\in W</math> לאו דווקא שונים.
*אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\to W</math> המקיימת:
**לכל i מתקיים כי <math>Tv_i=w_i</math>
<videoflash>NvTFxVhaenY</videoflash>
===מטריצה מייצגת העתקה===
<videoflash>IOYMxNgkQoY</videoflash>
====יחידות הצגה לפי בסיס, קואורדינטות==== *יהי V מ"ו ויהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס סדור לV.*לכל <math>v\in V</math> נגדיר את '''וקטור הקואורדינטות לפי B''' להיות הסקלים מההצגה היחידה:**<math>[v]_B=\begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n\end{pmatrix}</math> אם ורק אם <math>v=\alpha_1v_1+...+\alpha_nv_n</math> *מה עושים עם הקואורדינטות? כופלים באיברי הבסיס! <videoflash>wi8TNSA5Los</videoflash> *נגדיר פונקציה <math>T:V\to \mathbb{F}^n</math> ע"י <math>Tv=[v]_B</math>, אזי T היא איזומורפיזם. לכן**<math>[a_1u_1+...+a_ku_k]_B=a_1[u_1]_B+...+a_k[u_k]_B</math>**הסדרה <math>u_1,...,u_k\in V</math> בת"ל אם ורק אם הסדרה <math>[u_1]_B,...,[u_k]_B</math> בת"ל**<math>v\in span\{u_1,...,u_k\}</math> אם ורק אם <math>[v]_B\in span \{[u_1]_B,...,[u_k]_B\}</math> <videoflash>VSpBzsMVgMw</videoflash>
====משפט קיום ויחידות====
*יהיו <math>V,W</math> מ"ו מעל אותו שדה <math>\mathbb{F}</math>.
*נניח V ממימד n וB בסיס סדור שלו.
*נניח W ממימד m וC בסיס סדור שלו.
*תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית.
*אזי:
**'''קיימת''' מטריצה '''יחידה''' <math>[T]_C^B\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> המקיימת:
**לכל <math>v\in V</math> מתקיים כי <math>[T]_C^B[v]_B=[Tv]_C</math>
*על מנת למצוא את המטריצה המייצגת:**נפעיל את ההעתקה על איברי הבסיס של התחום.**נמצא את הקואורדינטות של תמונות איברי בסיס התחום לפי בסיס הטווח.**נשים את וקטורי הקואורדינטות שמצאנו בעמודות ונקבל את המטריצה המייצגת. *<math>[T]_C^B=\begin{pmatrix}| & & | \\ \left[T v_1 \right]_C & \cdots & \left[ T v_n \right]_C \\ | & & | \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^{m\times n}</math> <videoflash>iglkE9qqy84</videoflash> ===מטריצת סכום והרכבה=המטריצה המייצגת את ההעתקה ההופכית==== *יהיו <math>V,W</math> מ"ו ממימד סופי מעל השדה <math>\mathbb{F}</math> עם בסיסים <math>B,C</math> בהתאמה.*תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית, ויהי סקלר <math>\alpha\in\mathbb{F}</math>*אזי**<math>[T+S]^B_C=[T]^B_C+[S]^B_C</math>**<math>[\alpha T]^B_C=\alpha[T]^B_C</math>**<math>[S\circ T]_D^B=[S]^C_D[T]_C^B</math>**ההעתקה T הפיכה אם ורק אם המטריצה המייצגת <math>[T]^B_C</math> הפיכה***אם ההעתקה הפיכה, מתקיים כי <math>[T^{-1}]^C_B = \left([T]^B_C\right)^{-1}</math> <videoflash>EYU0bMBYEJM</videoflash>
====מטריצות מעבר בין בסיסים====
*<math>[I]_{C_2}^{C_1}[T]_{C_1}^{B_1}[I]_{B_1}^{B_2}=[T]_{C_2}^{B_2}</math>
*<math>\left([I]_C^B\right)^{-1}=[I]_B^C</math>
<videoflash>FIoJr-dRk9Y</videoflash>
===שלוש צורות הצגת ההעתקה===
*ניתן להציג העתקה לינארית בשלוש דרכים:
**נוסחא מפורשת
**לפי בסיס
**בעזרת מטריצה מייצגת
<videoflash>ouEdwylqPiQ</videoflash>
=====תרגול=====
===תמורות===
===הגדרת הדטרמיננטה===*נגדיר את אוסף התמורות <math>S_n</math> להיות קבוצת כל הפונקציות ההפיכות מהקבוצה <math>\{1,2,...,n\}</math> לעצמה.
===קשר בין דטרמיננטה להפיכות===
*לכל תמורה (פונקציה) <math>f\in S_n</math> נגדיר את סימן התמורה <math>sign(f)===כפליות הדטרמיננטה===\Pi_{i<j}\frac{f(j)-f(i)}{j-i}</math>*תמורה נקראת חיובית או זוגית אם סימנה שווה 1, ושלילית או אי זוגית אם סימנה שווה מינוס 1.
*כפליות הסימן - לכל שתי תמורות מתקיים כי <math>sign(f\circ g)=sign(f)\cdot sign(g)</math> *עבור תמורת הזהות <math>I\in S_n</math> מתקיים כי<math>sign(I)=1</math> <videoflash>Lmk0izbQR08</videoflash> *חילוף הוא תמורה <math>(i\ j)\in S_n</math> המחליפה בין האיברים <math>i,j</math> ושולחת את שאר האיברים לעצמם. *חילוף הוא תמורה שלילית (אי זוגית). *מחזור הוא תמורה <math>(p_1\ p_2\ \cdots\ p_k)=כלל קרמר(p_1\ p_2)\circ(p_2\ p_3)\circ \cdots \circ(p_{k-1}\ p_k)</math> וסימנו הוא <math>(-1)^{k-1}</math>*המחזור שולח כל איבר <math>p_{i-1}</math> ל<math>p_i</math>, את <math>p_k</math> ל<math>p_1</math> ואת שאר האיברים לעצמם. *כל תמורה ניתן להציג כהרכבה של מחזורים (זרים) וכך ניתן בקלות לחשב את סימנה. <videoflash>oXntZnnoHfM</videoflash> ===הגדרת הדטרמיננטה ותכונות===*עבור מטריצה ריבועית <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> נגדיר את הדטרמיננטה:**<math>det(A)=|A|=\sum_{f\in S_n}sign(f)\Pi_{i=1}^n[A]_{i,f(i)}</math> <videoflash>iS2k9gdW51A</videoflash> *תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ויהיו <math>1\leq i\neq j\leq n</math> כך ש <math>R_i(A)=R_j(A)</math> אזי <math>det(A)=0</math>*כלומר הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית עם שתי שורות זהות היא אפס. <videoflash>OJG5zEfaJRE</videoflash> *תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ותהי <math>B</math> המתקבלת מהפעלת פעולת דירוג על <math>A</math> אזי:**אם פעולת הדירוג היא <math>R_i+a\cdot R_j</math> עבור <math>i\neq j</math> אזי <math>|B|=|A|</math>**אם פעולת הדירוג היא <math>a\cdot R_i</math> אזי <math>|B|=a\cdot |A|</math>**אם פעולת הדירוג היא <math>R_i \leftrightarrow R_j</math> עבור <math>i\neq j</math> אזי <math>|B|=-|A|</math> <videoflash>QpfCfN5K8VY</videoflash> ===חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות=== *עבור מטריצה משולשית <math>A</math> מתקיים כי הדטרמיננטה היא מכפלת איברי האלכסון. *מטריצה ריבועית היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס. *לכל שתי מטריצות ריבועיות מתקיים כי <math>|AB|=|A|\cdot |B|</math> <videoflash>kaM3ugX7izs</videoflash> ===דטרמיננטת המשוחלפת=== *<math>|A^t|=|A|</math> *פעולות דירוג עמודות משפיעות על הדטרמיננטה בדיוק כמו פעולות דירוג שורות <videoflash>i6tF0z_cXN8</videoflash> ===נוסחת לפלס - חישוב הדטרמיננטה לפי שורה, ופיתוח הדטרמיננטה לפי עמודה=== *<math>A_{ij}</math> היא המטריצה המתקבלת מ<math>A</math> על ידי מחיקת השורה הi והעמודה הj שלה.*הדטרמיננטה <math>|A_{ij}|</math> נקראית '''מינור'''. *לכל i מתקיים כי <math>det(A)=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}|</math>*לכל j מתקיים כי <math>det(A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}|</math> <videoflash>Yb1rS4lNyWk</videoflash>
===מטריצה נלווית===
*תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> נגדיר את המטריצה הנלווית <math>adj(A)\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ע"י:
**<math>[adj(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}|A_{ji}|</math>
*מתקיים כי <math>A\cdot adj(A)=adj(A)\cdot A = |A|\cdot I</math>
*אם A הפיכה מתקיים כי <math>A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)</math>
*מתקיים כי <math>|adj(A)|=|A|^{n-1}</math>
<videoflash>yAnz13JHpK8</videoflash>
===כלל קרמר===
*תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> '''הפיכה''' ויהי <math>b\in\mathbb{F}^n</math> וקטור קבועים.
*אזי הפתרון היחיד <math>\vec{x}=(x_1,...,x_n)</math> למערכת המשוואות <math>A\vec{x}=b</math> מקיים כי:
*לכל i ערך המשתנה נתון ע"י <math>x_i =\frac{|A_i|}{|A|}</math>
*כאשר <math>A_i</math> היא המטריצה המתקבלת מ<math>A</math> על ידי החלפת העמודה ה<math>i</math> בוקטור הקבועים <math>b</math>
*במקרה בו יש לנו מטריצה עם שימוש נרחב בפרמטרים, קשה לדרג אותה אך קל לחשב דטרמיננטה.
*במקרים אלה ייתכן ויהיה רצוי למצוא את ההופכית בעזרת הנלווית, ולפתור מערכת משוואות באמצעות כלל קרמר.
<videoflash>1Avy8_3DzdU</videoflash>
===תרגול===